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小小數學博物館:101個最經典的數學提問+最具創意的解答

小小數學博物館:101個最經典的數學提問+最具創意的解答

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9789862419731
阿爾貝希特.波依特許巴赫
劉叔秋
天下雜誌
2014年11月04日
93.00  元
HK$ 79.05
省下 $13.95
 
二樓書卷使用細則
詳情可參考『二樓書卷』使用細則





ISBN:9789862419731
  • 叢書系列:少年知識家
  • 規格:平裝 / 184頁 / 14 x 20 cm / 普通級
    少年知識家


  • 童書/青少年文學 > 科普/百科 > 數學


















    0是偶數還是奇數?為什麼負負得正?

    「化圓為方」行得通嗎?數學竟然可以證明上帝的存在!?





    前言

    推薦序



    趣味篇

    一、數字變變變


    1、機率的計算是什麼時候開始的?

    2、1+2+3+……+100=?

    3、棋盤上有多少米粒?

    4、兩個人同一天生日的機會有多大?

    5、2000年前存下100元,現在值多少?

    6、我丟10次骰子,可以確定至少有1次是六點嗎?

    7、簽中一次大樂透的機會有多少?

    8、如何不必抓光全池的魚,就能知道池裡大概有多少魚?

    9、什麼是「三門問題」?

    10、為什麼負負得正?

    11、二項式定理有什麼用途?

    12、什麼是「根」?

    13、每個方程式都有解嗎?

    14、什麼是超越數?



    二、乾坤大挪移

    15、A4紙是多大?

    16、每個四邊形都是正方形嗎?

    17、哪一種多邊形可以完美接合?

    18、為什麼圓或球無法接合?

    19、為什麼蜂巢是六角形構圖?

    20、為什麼只有5種「柏拉圖立體」?

    21、平行線會在無窮處相交嗎?

    22、什麼是「非歐幾何」?

    23、為什麼對稱比較美?

    24、古代有哪些難解的數學問題?

    25、「化圓為方」行得通嗎?

    26、「畢氏定理」是什麼?

    27、空間和數字有什麼關係?

    28、我們能了解四維空間嗎?



    三、腦力激盪

    29、最古老的數字是什麼?

    30、13是不吉利的數字嗎?

    31、人類何時開始運用數字計算?

    32、古埃及人怎麼計算的?

    33、古羅馬人怎麼計算的?

    34、「0」是什麼時候出現的?

    35、「0」是偶數嗎?

    36、為什麼不能除以「0」?

    37、為什麼要學「九九乘法」?

    38、一百兆是多少?

    39、Googol是什麼?

    40、什麼是二進位系統?

    41、有無限多的數字嗎?

    42、為什麼2+2=4?

    43、到底有多少個質數?

    44、有任何質數的方程式嗎?

    45、 + 等於多少?

    46、到底有多少分數?

    47、有無理數嗎?

    48、無理數有多少個?



    挑戰篇

    四、怪怪數學家


    49、為什麼數學家不會算術?

    50、為什麼數學家怪怪的?

    51、有史以來最偉大的數學家是誰?

    52、誰是德國最偉大的數學家?

    53、女性天生數學就比較差嗎?

    54、為什麼諾貝爾獎中沒有數學獎?

    55、什麼是「希伯特的旅館」?

    56、數學家需要直覺和想像嗎?

    57、為什麼要學數學?

    58、為什麼數學令人害怕

    59、為什麼數學這麼難?

    60、一定要有公式嗎?

    61、數學可以速成嗎?

    62、為什麼數學這麼難學?



    五、能力大考驗

    63、阿基里斯何時趕上烏龜?

    64、0.999……=1對嗎?

    65、無窮數可以加總嗎?

    66、我們如何利用數學理解移動?

    67、什麼是指數函數?

    68、對數有什麼用途?

    69、要知道幾點才能得知一個函數的全貌?

    70、數學可以應用在哪裡?

    71、數學也是軍事科學嗎?

    72、有計算復活節是哪一天的公式嗎?

    73、電腦改變了數學?

    74、數學問題的難度可以測量嗎?

    75、檢驗答案比找出答案簡單嗎?

    76、數學和音樂有關係嗎?

    77、在數學裡還有什麼要研究的嗎?

    78、為什麼「問題」很重要?

    79、什麼是「希伯特的問題」?

    80、什麼是「100萬元的難題」?

    81、什麼是「3n+1難題」?

    82、我們可以證明一切嗎?

    83、數學裡沒有矛盾嗎?



    六、尋找數學的真相

    84、什麼是數學?

    85、什麼時候開始有數學的?

    86、第一本數學書是什麼?

    87、什麼是「點」

    88、什麼是證明?

    89、什麼是公理?

    90、我們怎麼證明不存在東西?

    91、數學是自然還是人文科學?

    92、為什麼數學這麼抽象?

    93、是畢達哥拉斯發明了畢氏定理嗎?

    94、什麼是「費馬最後定理」?

    95、為什麼我們需要「複數」?

    96、數字本身有意義嗎?

    97、動物會算數嗎?

    98、最美的公式是什麼?

    99、我們可以證明上帝的存在嗎?

    100、數學概念是被「發現」或是「發明」的?

    101、外星人可以了解我們的數學嗎?





    推薦序



    我看《小小數學博物館》

    文�美國印地安納州普度大學數學哲學博士、台大數學系退休教授 黃敏晃




      小孩對外界總是有許多疑惑,大人也不容易回答得清楚。三十年前,我們的小孩上小學時,台灣有套兒童讀物《十萬個為什麼?》代我回答了很多非數學的問題。數學方面的問題我當然親自上陣處理,所以曾經有朋友請我寫本數學方面的為什麼,但因某種原因並未進行。



      這本書就是這方面的讀物,作者是德國基森的「數學博物館」的館長——阿爾貝希特•波依許巴赫。他把許多訪客所提的數學問題中,比較單純大眾化的(專業性強的問題當然沒列入)回答,共101則,整理後出版了這本書。



      數學內容討論的材料是數、量、形和關係,所以問題和回答都會有點抽象、形式。



      書中的數學問題依性質可分成幾種類型,舉例說明如下:



      (1)學習型的,如 + 為什麼是 ,而不是 ?為什麼不能除以0?為什麼要背九九乘法表?



      這類問題通常在釐清問題的本質,和所牽涉數學物件的意義後,就能講清楚。



      (2)存在形式的,如計算樂透中獎的神祕公式嗎?有計算出質數的公式嗎?每個方程式都有解嗎?真的有四維空間嗎?



      存在性和唯一性常是數學討論的重點,因為數學家認為討論不存在的事物沒有意義,前兩個問題的答案是否定的,許多人太高估了數學的功能,以為數學總能提供公式解決難題,但這種靈丹其實並不存在。至於方程式的解和四維空間的存在,則會出乎許多讀者的意料之外。



      無理數的出現(也可以說是其存在的證明)是數學上有名的故事。在畢氏定定理被證明之前,畢達哥拉斯學派是一個興盛的宗教型學派,信徒捐出所有財產,聚居在某些封閉會所,不和外人往來,會眾大多無法辨識每個人,還要互考能否用尺規作圖方式,畫出五芒星,亦即正五邊形五條對角線形成的圖形,篤信「世界萬物的測量都可由自然數透過單純的運作(如加、減、乘、除、比例等)而得到」,如琴絃在某些自然數之比的長度處,可彈出不同的樂音,就是此派的貢獻。因此,他們常用分數,但在信仰上排斥了「無理數」(非自然數之比的實數)的存在。畢氏定理被證明之後,一個正方形的對角線長是其長邊的 倍,而 是無理數,此學派便因信仰崩潰而完全瓦解。



      (3)某類數學物件是否無限多的問題,如:有無限多的數字嗎?到底有多少質數?有多少分數?有多少無理數?



      這裡牽涉到的無限多,是數學裡所謂的最初級的無限多,意思和自然數一樣多,數都數不完(永遠有一個數比很大很大的數多1,因此沒有最大的自然數)。譬如說,質數有無限多的證明就是靠一樣的邏輯——有限就可以完整的羅列,但全部列出來後,我們總可以找到另一個質數,故質數的數目就有無限多了。



      以及阿基里斯何時能趕上烏龜?的芝諾悖論等牽涉到無限次運作的事務。



      人的生命有限,現代人雖不像古人那樣,人生七十古來稀,但也很少過百歲的人瑞。不管如何,人命有限,無法作無限多次運作。因此,牽涉到無限運作的事務是要另外界定的。



      即其結果越來越接近1,所以,數學裡我們界定其結果就是1。



      許多人不能接受這樣的說法,他們覺得0.999……就是比1小那麼一點點,這裡需要用到一點推論來說明了:如果0.999……是一個固定的數,那麼它應該多少呢?



      顯然,它是比1大的數是不對的,而任何比1小的數也不行,因為只要我們取的位數夠多,它就會比這個數大,因此它只能是1。數學的定義常常是這樣子,是人為的,因為數學物件是人造的,而非像熊貓或芒果那樣是天然的。德國數學家Dedekin說過:「數學裡除了1、2、3……等自然數的概念外,其他物件都是數學家造出來的。」



      數學家造出來的東西,其意義當然是他自己界定的。譬如說, 這個形式的符號,它代表什麼樣的數呢?



      我們當然不能隨便亂定,而要回歸到次方的意義: 代表3個4相乘, 代表2個4相乘, 本來是沒有需要的符號(只有1個4,根本沒有相乘的可能),但看到 、 等的界定,把 定義成成4,可以讓下面的指數算則方便運作——若a和b是自然數

     

      那麼, 要定義成怎麼樣的數,才能使上面的指數保持成立呢?答案是 =1。這樣的做法,就是數學裡的「規約觀點」(conventionsim)。讀者以後見多了,就不會覺得奇怪了。



      其他問題筆者就不多談了,讀數學書時不能像小說那樣,順著劇情走,每逢難處就停下來想一想,若需要動筆計算也不要偷懶。因為數學家寫數學文章時,常覺得材料簡單,因此輕輕幾筆帶過,以為別人會跟他一樣清楚。



      另外,本書的作者是德國人,書中難免帶著些許德國味道,譬如問題052:誰是德國最偉大的數學家?問題079提到的「希伯特問題」和問題055「希伯特旅館」中的希伯特,就是非常有名的德國數學家。讀者只要能夠了解這點,此書不失為很好的數學讀物。




    台大數學系退休教授 黃敏晃

    2014年10月20日




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