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微積分勝典:微積分究竟在說什麼?進階版

微積分勝典:微積分究竟在說什麼?進階版

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9789579036306
張之嵐
樂果文化
2020年11月06日
183.00  元
HK$ 146.4  






ISBN:9789579036306
  • 叢書系列:樂科普
  • 規格:平裝 / 675頁 / 19 x 25 x 3.38 cm / 普通級 / 單色印刷 / 初版
  • 出版地:台灣
    樂科普


  • 自然科普 > 數學 > 微積分











    數學是用來表達宇宙的真理

    微積分是一種對於極微量之因果變化的一種演算的學問。

    在面對「微分」與「積分」的時候,就必須要有超越性的思維,

    才能夠有超越性的成果,而本書則正是在於強調這種超越性的特質。

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    理解《微積分》,進一步因理解而喜歡

    ?

      能夠徹底的把微積分說清楚、講明白,讓讀本書的人可以在一開始就能真正的懂得微積分究竟是在說什麼?這是本書的特色,也唯有把真相說清楚,把道理說明白,才是學問的真正起點。

    ?

      本書以特殊而精準的圖解方式,詳盡而深入淺出的方式,解說《微積分》的究竟與道理,更重要的是,書中使用了大量的「典範範例」,對於相關的問題以實例做成典範,配合精準的圖解,使每一個函數都以特性曲線圖的方式展現出來,並在完成微分或積分之後,再用特性曲線圖的變化,對於它的原因及道理做成更進一步與更詳盡的解說與分析。

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    專業推薦

    ?

      王鎮城/機電博士 李粵堅/物理博士 林定鼎/光電博士

      林義平/電機博士 林建憲/工學博士 吳春淵/機械博士

      施江霖/電機博士 郭靜娟/醫學博士 張明文/光學博士

      賴茂富/電機博士 齊紹栩/電機博士 龔明覺/電機博士



     





    第 1 章 緒 論 20?

    ☆ 1.1 超越的思維 ....................................... 22?

    ☆ 1.2 不要用計算來困住自己 ................................. 24?

    ☆ 1.3 數學小神童是真的嗎? ................................. 26?

    ☆ 1.4 近代文明的基石 ....................................... 29?

    ☆ 1.5 偉大的芝諾詭論 (Paradoxes of Zeno ) ................... 30?

    ☆ 1.6 金字塔的神奇 ....................................... 32?

    ☆ 1.7 工具的發明使人類進入超越的時代 ....................... 33?

    ☆ 1.8 把數學口語化 ....................................... 34?



    第 2 章 數學是宇宙的真理 36?

    ☆ 2.1 你還在土法煉鋼嗎? ................................... 38?

    ☆ 2.2 數學是一種偉大的思維 ................................. 40?

    ☆ 2.3 在「答案」背後的意義.................................. 42?

    ☆ 2.4 數學是美也是真理 ..................................... 43?

    ☆ 2.5 數值在歷史上的迷思 ................................... 45?

    ☆ 2.6 病毒數學有驚人智慧 ................................... 46?

    ☆ 2.7 數學是代表宇宙的真理 ................................. 48?

    ☆ 2.8 數學之唯美 ....................................... 52?

    ☆ 2.9 複數使宇宙變得偉大 ................................... 54?

    ☆ 2.10 世界上最美的方程式 ................................... 56?

    ☆ 2.11 如何解讀世界上最美的方程式 ........................... 57?

    ☆ 2.12 思維的特質使人成為天才 ............................... 61?



    第 3 章 大自然的曼妙哲學與原理 64?

    ☆ 3.1 脫離傳統的制度 ....................................... 66?

    ☆ 3.2 只要懂得她就不會忘記她 ............................... 68?

    ☆ 3.3 偉大的生命曲線 ....................................... 72

    ☆ 3.4 函數是一種因與果的對應關係 ........................... 75?

    ☆ 3.5 明晰透徹的解悟 ....................................... 78?

    ☆ 3.6 【典範範例】集錦...................................... 80?

    【★★★典範範例 3-01】 ................................. 80?

    【★★★典範範例 3-02】 ................................. 84?

    【★★★典範範例 3-03】 ................................. 87?

    【★★★典範範例 3-04】 ................................. 88?

    【★★★典範範例 3-05】 ................................. 90?

    【★★★典範範例 3-06】 ................................. 91?

    【★★★典範範例 3-07】 ................................. 93?

    【★★★★典範範例 3-08】[ 研究與分析 ] ................... 94?



    第 4 章 從微積分的思維說起 98?

    ☆ 4.1 人們自古就喜歡算命 .................................. 100?

    ☆ 4.2 微分是研究因果相應之道的大學問 ...................... 101?

    ☆ 4.3 積分是研究「積因得果」之道 .......................... 103?

    ☆ 4.4 微積分是一種研究「瞬息萬變」的大學問 ................ 107?

    ☆ 4.5 不要把微分與導數弄混淆了 ............................ 110?

    ☆ 4.6 為什麼積分是反微分呢? .............................. 111?

    ☆ 4.7 微分與積分在觀念上的精細解析 ........................ 113?

    【★★★問題與研究】 .................................. 115?

    ☆ 4.8 直線的積分會是什麼? ................................ 117?

    【★★★問題與研究】 .................................. 118?

    ☆ 4.9 生命曲線的微分會是什麼? ............................ 119?

    【★★★問題與研究】 .................................. 122?



    第 5 章 讓我們的思維飛到無窮遠的地方 126?

    ☆ 5.1 人類因幻想而偉大 .................................... 128?

    ☆ 5.2 來到那「極限」的地方 ................................ 129?

    ☆ 5.3 你知道 1=2 的悖論嗎? ................................ 131?

    ☆ 5.4 極限 (limits) 的問題與思維 ........................... 133?

    ☆ 5.5 【典範範例】集錦..................................... 136

    【★★★典範範例 5-01】 ................................ 136?

    【★★★典範範例 5-02】 ................................ 137?

    【★★★典範範例 5-03】 ................................ 138?

    【★★★典範範例 5-04】 ................................ 140?

    【★★★典範範例 5-05】 ................................ 141?

    【★★★典範範例 5-06】 ................................ 143?

    【★★★典範範例 5-07】 ................................ 145?

    【★★★★典範範例 5-08】 [ 研究與分析 ] ................ 146?

    【★★★★典範範例 5-09】 [ 研究與分析 ] ................ 150?

    【★★★★典範範例 5-10】 [ 研究與分析 ] ................ 152?

    【★★★★典範範例 5-11】 [ 研究與分析 ] ................ 155?

    【★★★★典範範例 5-12】 [ 研究與分析 ] ................ 157?



    第 6 章 微分究竟想做什麼? 160?

    ☆ 6.1 讀書的學問之道 ...................................... 162?

    ☆ 6.2 事情永遠都在變化 .................................... 164?

    ☆ 6.3 微分是求微量的因果之道 .............................. 165?

    ☆ 6.4 進一步的談導數與微分 ................................ 168?

    ☆ 6.5 微分就是研究瞬息變化的因果之道 ...................... 170?

    ☆ 6.6 數學中的微分方法 .................................... 171?

    ☆ 6.7 對於微分的結果之解讀與學問之道 ...................... 172?

    ☆ 6.8 【典範範例】集錦..................................... 179?

    【★★★典範範例 6-01】 ................................ 179?

    【★★★典範範例 6-02】 ................................ 181?

    【★★★★典範範例 6-03】 [ 研究與分析 ] ................ 184?

    【★★★★典範範例 6-04】 [ 研究與分析 ] ................ 186?

    【★★★★典範範例 6-05】 [ 研究與分析 ] ................ 189?

    【★★★★典範範例 6-06】 [ 研究與分析 ] ................ 194?

    【★★★★典範範例 6-07】 [ 研究與分析 ] ................ 197?

    【★★★★典範範例 6-08】 [ 研究與分析 ] ................ 199?

    【★★★★典範範例 6-09】 [ 研究與分析 ] ................ 204?

    【★★★★典範範例 6-10】 [ 研究與分析 ] ................ 209



    第 7 章 奇特的三角函數微分 212?

    ☆ 7.1 世界上最實用的科學 .................................. 214?

    ☆ 7.2 基本三角函數的微分 .................................. 216?

    ☆ 7.3 為什麼 sin(x) 的微分是 cos(x) 呢? .................... 217?

    ☆ 7.4 為什麼 cos(x) 的微分卻是 -sin(x) 呢? ................. 221?

    ☆ 7.5 綜合型三角函數的微分 ................................ 223?

    ☆ 7.6 【典範範例】集錦..................................... 225?

    【★★★典範範例 7-01】 ................................ 225?

    【★★★典範範例 7-02】 ................................ 227?

    【★★★典範範例 7-03】 ................................ 229?

    【★★★★典範範例 7-04】[ 研究與分析 ] .................. 231?

    【★★★★典範範例 7-05】[ 研究與分析 ] .................. 234?

    【★★★★典範範例 7-06】[ 研究與分析 ] .................. 237?

    【★★★★典範範例 7-07】[ 研究與分析 ] .................. 242?

    【★★★★典範範例 7-08】[ 研究與分析 ] .................. 246?

    【★★★★典範範例 7-09】[ 研究與分析 ] .................. 249?

    【★★★★典範範例 7-10】[ 研究與分析 ] .................. 254?

    【★★★★典範範例 7-11】[ 研究與分析 ] .................. 259?



    第 8 章 為大自然說話的曲線 264?

    ☆ 8.1 大自然的生命道理 .................................... 266?

    ☆ 8.2 用白話文講「指數」 .................................. 269?

    ☆ 8.3 自然指數在數學上的定義 .............................. 270?

    ☆ 8.4 指數運算定律 ...................................... 271?

    ☆ 8.5 指數函數的特性曲線 .................................. 273?

    ☆ 8.6 這個 e=2.71828 是什麼意思? .......................... 274?

    ☆ 8.7 「對數」是什麼意思? ................................ 275?

    ☆ 8.8 用白話文講「對數」 .................................. 277?

    ☆ 8.9 【典範範例】集錦..................................... 279?

    【★★★典範範例 8-01】 ................................ 279?

    【★★★典範範例 8-02】 ................................ 281?

    【★★★典範範例 8-03】 ................................ 282

    【★★★典範範例 8-04】 ................................ 284?

    【★★★典範範例 8-05】 ................................ 285?

    【★★★★典範範例 8-06】 [ 研究與分析 ] ................ 287?

    【★★★★典範範例 8-07】 [ 研究與分析 ] ................ 289?

    【★★★★典範範例 8-08】 [ 研究與分析 ] ................ 291?

    【★★★★典範範例 8-09】 [ 研究與分析 ] ................ 294?

    【★★★★典範範例 8-10】 [ 研究與分析 ] ................ 295?

    【★★★★典範範例 8-11】 [ 研究與分析 ] ................ 298

    ?【★★★★典範範例 8-12】 [ 研究與分析 ] ................ 301?

    【★★★★典範範例 8-13】 [ 研究與分析 ] ................ 304?



    第 9 章 用白話文講指數與對數的微分 308

    ☆ 9.1 再用白話文講「指數」 ................................ 310?

    ☆ 9.2 自然指數特性曲線圖的意義 ............................ 312?

    ☆ 9.3 在指數運算上最常犯的一些錯誤 ........................ 314?

    ☆ 9.4 指數的微分是一條打不死的龍 .......................... 315?

    ☆ 9.5 指數微分與符號法則 .................................. 317?

    ☆ 9.6 什麼是對數函數 ...................................... 318?

    ☆ 9.7 如何口語化數學 ...................................... 319?

    ☆ 9.8 口語化的「對數」函數 ................................ 320?

    ☆ 9.9 奇妙的對數微分 ...................................... 324?

    ☆ 9.10 【典範範例】集錦..................................... 326?

    【★★★典範範例 9-01】[ 研究與分析 ] .................... 326?

    【★★★典範範例 9-02】 ................................ 329?

    【★★★典範範例 9-03】 ................................ 331?

    【★★★典範範例 9-04】 ................................ 332?

    【★★★典範範例 9-05】 ................................ 334?

    【★★★★典範範例 9-06】[ 研究與分析 ] .................. 337?

    【★★★★典範範例 9-07】[ 研究與分析 ] .................. 340?

    【★★★★典範範例 9-08】[ 研究與分析 ] .................. 343?

    【★★★★典範範例 9-09】[ 研究與分析 ] .................. 345?

    【★★★★典範範例 9-10】[ 研究與分析 ] .................. 349?

    【★★★★典範範例 9-11】[ 研究與分析 ] .................. 353?

    【★★★★典範範例 9-12】[ 研究與分析 ] .................. 356?

    【★★★★典範範例 9-13】[ 研究與分析 ] .................. 358

    【★★★★典範範例 9-14】[ 研究與分析 ] .................. 362?

    【★★★★典範範例 9-15】[ 研究與分析 ] .................. 365?

    【★★★★典範範例 9-16】[ 研究與分析 ] .................. 368?



    第 10 章 積分究竟是什麼? 376?

    ☆ 10.1 積分的究竟思維 ...................................... 378?

    ☆ 10.2 積分在數學上的意義 .................................. 380?

    ☆ 10.3 積分有什麼用呢? .................................... 384?

    ☆ 10.4 【典範範例 -1】介於直線之間的面積.................... 386?

    ☆ 10.5 【典範範例 -2】介於曲線之間的面積.................... 391?

    ☆ 10.6 積分的進階思維 ...................................... 394?

    ☆ 10.7 多重積分的意義 ...................................... 397?

    ☆ 10.8 常數的一次積分是什麼意思? .......................... 401?

    ☆ 10.9 常數連續兩次的積分是什麼意思? ...................... 404?

    ☆ 10.10 常數經過三次的積分有什麼意思? ...................... 405?

    ☆ 10.11 如何求兩曲線間的面積 ................................ 409?

    ☆ 10.12 【典範範例】集錦..................................... 411?

    【★★★典範範例 10-01】 ............................... 411?

    【★★★典範範例 10-02】 ............................... 413?

    【★★★典範範例 10-03】 ............................... 414?

    【★★★典範範例 10-04】 ............................... 416?

    【★★★典範範例 10-05】 ............................... 417?

    【★★★典範範例 10-06】[ 研究與分析 ] ................... 419?

    【★★★典範範例 10-07】[ 研究與分析 ] ................... 422?

    【★★★典範範例 10-08】[ 研究與分析 ] ................... 425?

    【★★★典範範例 10-09】[ 研究與分析 ] ................... 428?

    【★★★典範範例 10-10】[ 研究與分析 ] ................... 432?

    【★★★典範範例 10-11】[ 研究與分析 ] ................... 434?



    第 11 章 用白話文講對數與指數的積分 438?

    ☆ 11-1 什麼是指數與自然指數 ................................ 440?

    ☆ 11.2 指數的基本運算與積分 ................................ 441

    ☆ 11.3 還是一條不死的龍 .................................... 442?

    ☆ 11.4 口語化的指數與對數關係 .............................. 445?

    ☆ 11.5 對數與指數的積分與特殊意義 .......................... 448?

    ☆ 11.6 指數與對數的常用積分公式 ............................ 449?

    ☆ 11.7 【典範範例】集錦..................................... 450?

    【★★★典範範例 11-01】[ 研究與分析 ] ................... 450?

    【★★★典範範例 11-02】[ 研究與分析 ] ................... 454?

    【★★★典範範例 11-03】[ 研究與分析 ] ................... 456?

    【★★★典範範例 11-04】[ 研究與分析 ] ................... 458?

    【★★★典範範例 11-05】[ 研究與分析 ] ................... 460?

    【★★★★典範範例 11-06】[ 研究與分析 ] ................. 462?

    【★★★★典範範例 11-07】[ 研究與分析 ] ................. 465?

    【★★★★典範範例 11-08】[ 研究與分析 ] ................. 467?

    【★★★★典範範例 11-09】[ 研究與分析 ] ................. 469?

    【★★★★典範範例 11-10】[ 研究與分析 ] ................. 471?

    【★★★★典範範例 11-11】 ............................. 473?

    【★★★★典範範例 11-12】[ 研究與分析 ] ................. 476?

    【★★★★典範範例 11-13】[ 研究與分析 ] ................. 480?

    【★★★★典範範例 11-14】[ 研究與分析 ] ................. 484?

    【★★★★典範範例 11-15】[ 研究與分析 ] ................. 486?



    第 12 章 卓越的三角函數積分 490?

    ☆ 12.1 三角學是大自然的祕密 ................................ 492?

    ☆ 12.2 從天文到地理 ...................................... 493?

    ☆ 12.3 三角函數的數值觀念 .................................. 494?

    ☆ 12.4 熱門的手機是三角函數的產品 .......................... 496?

    ☆ 12.5 三角函數的相關公式 .................................. 498?

    ☆ 12.6 【典範範例】集錦..................................... 499?

    【★★★典範範例 12-01】[ 研究與分析 ] ................... 499?

    【★★★典範範例 12-02】[ 研究與分析 ] ................... 502?

    【★★★★典範範例 12-03】[ 研究與分析 ] ................. 505?

    【★★★★典範範例 12-04】[ 研究與分析 ] ................. 508?

    【★★★★典範範例 12-05】[ 研究與分析 ] ................. 512?

    【★★★★典範範例 12-06】[ 研究與分析 ] ................. 518?

    【★★★★典範範例 12-07】[ 研究與分析 ] ................. 521

    【★★★★典範範例 12-08】[ 研究與分析 ] ................. 523?

    【★★★★典範範例 12-09】[ 研究與分析 ] ................. 528?

    【★★★★典範範例 12-10】[ 研究與分析 ] ................. 533?



    第 13 章 特異的奇函數與偶函數 540?

    ☆ 13.1 不可不知的函數對消作用 .............................. 542?

    ☆ 13.2 奇函數的定義 ...................................... 543?

    ☆ 13.3 sin 函數是奇函數還是偶函數?......................... 544?

    ☆ 13.4 偶函數的定義 ...................................... 545?

    ☆ 13.5 由一半而推知另一半 .................................. 547?

    ☆ 13.6 奇函數與偶函數的特異功能 ............................ 549?

    ☆ 13.7 【典範範例】集錦..................................... 552?

    【★★★典範範例 13-01】[ 研究與分析 ] ................... 552?

    【★★★典範範例 13-02】[ 研究與分析 ] ................... 555

    【★★★★典範範例 13-03】[ 研究與分析 ] ................. 557?

    【★★★★典範範例 13-04】[ 研究與分析 ] ................. 558?

    【★★★★典範範例 13-05】[ 研究與分析 ] ................. 561?

    【★★★★典範範例 13-06】[ 研究與分析 ] ................. 563?



    第 14 章 高階的面積分與體積分 568?

    ☆ 14.1 積分的進階思維 ...................................... 570?

    ☆ 14.2 不規則平面面積之處理 ................................ 573?

    ☆ 14.3 如何求兩曲線間的面積 ................................ 575?

    ☆ 14.4 如何計算物體之體積 .................................. 578?

    ☆ 14.5 圓盤法 (circular-disk method) ........................ 580?

    ☆ 14.6 柱殼法 (cylindrical shell method) .................... 584?

    ☆ 14.7 【典範範例】集錦..................................... 587?

    【★★★典範範例 14-01】 ............................... 587?

    【★★★典範範例 14-02】 ............................... 588?

    【★★★典範範例 14-03】 ............................... 590?

    【★★★典範範例 14-04】 ............................... 592?

    【★★★典範範例 14-05】 ............................... 594

    【★★★典範範例 14-06】 ............................... 596?

    【★★★典範範例 14-07】 ............................... 598?

    【★★★典範範例 14-08】 ............................... 600?

    【★★★★典範範例 14-09】 ............................. 602?

    【★★★★典範範例 14-10】 ............................. 604?

    【★★★★典範範例 14-11】 ............................. 607?

    【★★★★典範範例 14-12】 ............................. 609?

    【★★★★典範範例 14-13】 ............................. 613?

    【★★★★典範範例 14-14】 ............................. 616?

    【★★★★典範範例 14-15】 ............................. 623?

    【★★★★典範範例 14-16】 ............................. 626?

    【★★★★典範範例 14-17】 ............................. 629?

    【★★★★典範範例 14-18】 ............................. 631?

    【★★★★典範範例 14-19】 ............................. 633?

    【★★★★典範範例 14-20】 ............................. 635?

    【★★★★典範範例 14-21】 ............................. 638?



    第 15 章 進入虛幻世界 640?

    ☆ 15.1 虛數就是「虛幻的數」嗎? ............................ 642?

    ☆ 15.2 在實數中無解的問題 .................................. 644?

    ☆ 15.3 虛數讓任何「難題」都可以找到答案 .................... 645?

    ☆ 15.4 宇宙中最大的數系 .................................... 647?

    ☆ 15.5 複數平面的運算 ...................................... 649?

    ☆ 15.6 複變數的微分 ...................................... 651?

    ☆ 15.7 複變數的積分 ...................................... 652?

    ☆ 15.8 【典範範例】集錦..................................... 653?

    【★★★典範範例 15-01】 ............................... 653?

    【★★★典範範例 15-02】 ............................... 653?

    【★★★典範範例 15-03】 ............................... 654?

    【★★★典範範例 15-04】 ............................... 655?

    【★★★★典範範例 15-05】[ 研究與分析 ] ................. 656?

    【★★★★典範範例 15-06】[ 研究與分析 ] ................. 657?

    【★★★★典範範例 15-07】[ 研究與分析 ] ................. 659?

    【★★★★典範範例 15-08】[ 研究與分析 ] ................. 662?

    【★★★★典範範例 15-09】[ 研究與分析 ] ................. 663

    【★★★★典範範例 15-10】[ 研究與分析 ] ................. 666?

    【★★★★典範範例 15-11】[ 研究與分析 ] ................. 668?

    【★★★★典範範例 15-12】[ 研究與分析 ] ................. 669?

    【★★★★典範範例 15-13】[ 研究與分析 ] ................. 670?

    【★★★★典範範例 15-14】[ 研究與分析 ] ................. 671?

    【★★★★典範範例 15-15】[ 研究與分析 ] ................. 673?

    【★★★★典範範例 15-16】[ 研究與分析 ] ................. 674






    自 序?




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