第1篇 統計

1 機率統計全景

1.1 必備數學工具：一個線性代數小測驗

1.2 統計描述

1.3 機率

1.4 高斯

1.5 隨機

1.6 頻率派

1.7 貝氏派

1.8 橢圓三部曲

2 統計描述

2.1 統計兩大工具：描述、推斷

2.2 長條圖：單特徵資料分佈

2.3 散點圖：兩特徵資料分佈

2.4 有標籤資料的統計視覺化

2.5 集中度：平均值、質心

2.6 分散度：極差、方差、標準差

2.7 分位：四分位、百分位等

2.8 箱型圖：小提琴圖、分佈散點圖

2.9 中心距：平均值、方差、偏度、峰度

2.10 多元隨機變數關係：協方差矩陣、相關性係數矩陣



第 2 篇 機率

3 古典機率模型

3.1 無處不在的機率

3.2 古典機率：離散均勻機率律

3.3 回顧：巴斯卡三角和機率

3.4 事件之間的關係：集合運算

3.5 條件機率：給定部分資訊做推斷

3.6 貝氏定理：條件機率、邊緣機率、聯合機率關係

3.7 全機率定理：窮舉法

3.8 獨立、互斥、條件獨立

4 離散隨機變數

4.1 隨機：天地不仁，以萬物為芻狗

4.2 期望值：隨機變數的可能設定值加權平均

4.3 方差：隨機變數離期望距離平方的平均值

4.4 累積分佈函數（CDF）：累加

4.5 二元離散隨機變數

4.6 協方差、相關性係數

4.7 邊緣機率：偏求和，相當於降維

4.8 條件機率：引入貝氏定理

4.9 獨立性：條件機率等於邊緣獨立

4.10 以鳶尾花資料為例：不考慮分類標籤

4.11 以鳶尾花資料為例：考慮分類標籤

4.12 再談機率1：展開、折疊

5 離散分佈

5.1 機率分佈：高度理想化的數學模型

5.2 離散均勻分佈：不分厚薄

5.3 伯努利分佈：非黑即白

5.4 二項分佈：巴斯卡三角

5.5 多項分佈：二項分佈推廣

5.6 卜松分佈：建模隨機事件的發生次數

5.7 幾何分佈：滴水穿石

5.8 超幾何分佈：不放回

6 連續隨機變數

6.1 一元連續隨機變數

6.2 期望、方差和標準差

6.3 二元連續隨機變數

6.4 邊緣機率：二元PDF 偏積分

6.5 條件機率：引入貝氏定理

6.6 獨立性：比較條件機率和邊緣機率

6.7 以鳶尾花資料為例：不考慮分類標籤

6.8 以鳶尾花資料為例：考慮分類標籤

7 連續分佈

7.1 連續均勻分佈：離散均勻分佈的連續版

7.2 高斯分佈：最重要的機率分佈，沒有之一

7.3 邏輯分佈：類似高斯分佈

7.4 學生t- 分佈：厚尾分佈

7.5 對數正態分佈：源自正態分佈

7.6 指數分佈：卜松分佈的連續隨機變數版

7.7 卡方分佈：若干IID 標準正態分佈平方和

7.8 F- 分佈：和兩個服從卡方分佈的獨立隨機變數有關

7.9 Beta 分佈：機率的機率

7.10 Dirichlet 分佈：多元Beta 分佈

8 條件機率

8.1 離散隨機變數：條件期望

8.2 離散隨機變數：條件方差

8.3 離散隨機變數的條件期望和條件方差：以鳶尾花為例

8.4 連續隨機變數：條件期望

8.5 連續隨機變數：條件方差

8.6 連續隨機變數：以鳶尾花為例

8.7 再談如何分割「1」



第 3 篇 高斯

9 一元高斯分佈

9.1 一元高斯分佈：期望值決定位置，標準差決定形狀

9.2 累積機率密度：對應機率值

9.3 標準高斯分佈：期望為0，標準差為1

9.4 68-95-99.7 法則

9.5 用一元高斯分佈估計機率密度

9.6 經驗累積分佈函數

9.7 QQ 圖：分位- 分點陣圖

9.8 從距離到一元高斯分佈

10 二元高斯分佈

10.1 二元高斯分佈：看見橢圓

10.2 邊緣分佈：一元高斯分佈

10.3 累積分佈函數：機率值

10.4 用橢圓解剖二元高斯分佈

10.5 聊聊線性相關性係數

10.6 以鳶尾花資料為例：不考慮分類標籤

10.7 以鳶尾花資料為例：考慮分類標籤

11 多元高斯分佈

11.1 矩陣角度：一元、二元、三元到多元

11.2 高斯分佈：橢圓、橢球、超橢球

11.3 解剖多元高斯分佈PDF

11.4 平移→旋轉

11.5 平移→旋轉→縮放

12 條件高斯分佈

12.1 聯合機率和條件機率關係

12.2 給定X 條件下，Y 的條件機率：以二元高斯分佈為例

12.3 給定Y 條件下，X 的條件機率：以二元高斯分佈為例

12.4 多元常態條件分佈：引入矩陣運算

13 協方差矩陣

13.1 計算協方差矩陣：描述資料分佈

13.2 相關性係數矩陣：描述Z 分數分佈

13.3 特徵值分解：找到旋轉、縮放

13.4 SVD 分解：分解資料矩陣

13.5 Cholesky 分解：列向量座標

13.6 距離：歐氏距離vs 馬氏距離

13.7 幾何角度：超橢球、橢球、橢圓

13.8 合併協方差矩陣



第 4 篇 隨機

14 隨機變數的函數

14.1 隨機變數的函數：以鳶尾花為例

14.2 線性變換：投影角度

14.3 單方向投影：以鳶尾花兩特徵為例

14.4 正交系投影：以鳶尾花兩特徵為例

14.5 以橢圓投影為角度看線性變換

14.6 主成分分析：換個角度看資料

15 蒙地卡羅模擬

15.1 蒙地卡羅模擬：基於虛擬亂數發生器

15.2 估算平方根

15.3 估算積分

15.4 估算體積

15.5 估算圓周率

15.6 布豐投針估算圓周率

15.7 接受- 拒絕抽樣法

15.8 二項分佈隨機漫步

15.9 兩個服從高斯分佈的隨機變數相加

15.10 產生滿足特定相關性的隨機數



第 5 篇 頻率派

16 頻率派統計推斷

16.1 統計推斷：兩大學派

16.2 頻率學派的工具

16.3 中心極限定理：漸近於正態分佈

16.4 最大似然：雞兔比例

16.5 最大似然：以估算平均值、方差為例

16.6 區間估計：整體方差已知，平均值估計

16.7 區間估計：整體方差未知，平均值估計

16.8 區間估計：整體平均值未知，方差估計

17 機率密度估計

17.1 機率密度估計：從長條圖說起

17.2 核心密度估計：若干核心函數加權疊合

17.3 頻寬：決定核心函數的高矮胖瘦

17.4 核心函數：八種常見核心函數

17.5 二元KDE：機率密度曲面



第 6 篇 貝氏派

18 貝氏分類

18.1 貝氏定理：分類鳶尾花

18.2 似然機率：給定分類條件下的機率密度

18.3 先驗機率：鳶尾花分類佔比

18.4 聯合機率：可以作為分類標準

18.5 證據因數：和分類無關

18.6 後驗機率：也是分類的依據

18.7 單一特徵分類：基於KDE

18.8 單一特徵分類：基於高斯

19 貝氏分類進階

19.1 似然機率：給定分類條件下的機率密度

19.2 聯合機率：可以作為分類標準

19.3 證據因數：和分類無關

19.4 後驗機率：也是分類的依據

19.5 獨立：不代表條件獨立

19.6 條件獨立：不代表獨立

20 貝氏推斷入門

20.1 貝氏推斷：更貼合人腦思維

20.2 從一元貝氏公式說起

20.3 走地雞兔：比例完全不確定

20.4 走地雞兔：很可能一半一半

20.5 走地雞兔：更一般的情況

21 貝氏推斷進階

21.1 除了雞兔，農場發現了豬

21.2 走地雞兔豬：比例完全不確定

21.3 走地雞兔豬：很可能各1/3

21.4 走地雞兔豬：更一般的情況

22 馬可夫鏈蒙地卡羅

22.1 歸一化因數沒有閉式解？

22.2 雞兔比例：使用PyMC3

22.3 雞兔豬比例：使用PyMC3



第 7 篇 橢圓

23 馬氏距離

23.1 馬氏距離：考慮資料分佈的距離度量

23.2 歐氏距離：最基本的距離

23.3 標準化歐氏距離：兩個角度

23.4 馬氏距離：兩個角度

23.5 馬氏距離和卡方分佈

24 線性迴歸

24.1 再聊線性迴歸

24.2 最小平方法

24.3 最佳化問題

24.4 投影角度

24.5 線性方程組：代數角度

24.6 條件機率

24.7 最大似然估計（MLE）

25 主成分分析

25.1 再聊主成分分析

25.2 原始資料

25.3 特徵值分解協方差矩陣

25.4 投影

25.5 幾何角度看PCA

25.6 奇異值分解

25.7 最佳化問題

25.8 資料還原和誤差

序



　　感謝



　　首先感謝大家的信任。



　　作者僅是在學習應用資料科學和機器學習演算法時，多讀了幾本數學書，多做了一些思考和知識整理而已。知者不言，言者不知。知者不博，博者不知。



　　由於作者水準有限，斗膽把自己所學所思與大家分享，作者權當無知者無畏。



　　希望大家在Github多提意見，讓這套書成為作者和讀者共同參與創作的作品。



　　特別感謝清華大學出版社的欒大成老師。從選題策劃、內容創作到裝幀設計，欒老師事無巨細、一路陪伴。每次與欒老師交流，都能感受到他對優質作品的追求、對知識分享的熱情。



　　出來混總是要還的



　　曾經，考試是我們學習數學的唯一動力。考試是頭懸樑的繩，是錐刺股的錐。我們中的大多數人從小到大為各種考試埋頭題海，數學味同嚼蠟，甚至讓人恨之入骨。



　　數學所帶來了無盡的「折磨」。我們甚至恐懼數學，憎恨數學，恨不得一走出校門就把數學拋之腦後，老死不相往來。



　　再給自己一個學數學的理由



　　為考試而學數學，是被逼無奈的舉動。而為數學而數學，則又太過高尚而遙不可及。



　　相信對絕大部分的我們來說，數學是工具、是謀生手段，而非目的。我們主動學數學，是想用數學工具解決具體問題。



　　現在，這套書給大家一個「學數學、用數學」的全新動力—資料科學、機器學習。



　　資料科學和機器學習已經深度融合到我們生活的各方面，而數學正是開啟未來大門的鑰匙。不是所有人生來都握有一副好牌，但是掌握「數學+程式設計+機器學習」的知識絕對是王牌。這次，學習數學不再是為了考試、分數、升學，而是投資時間、自我實現、面向未來。



　　未來已來，你來不來？



　　本套本書系如何幫到你



　　為了讓大家學數學、用數學，甚至愛上數學，作者可謂頗費心機。在創作這套書時，作者儘量克服傳統數學教材的各種弊端，讓大家學習時有興趣、看得懂、有思考、更自信、用得著。



　　為此，叢書在內容創作上突出以下幾個特點。



　　●數學+藝術——全書圖解，極致視覺化，讓數學思想躍然紙上、生動有趣、一看就懂，同時提高大家的資料思維、幾何想像力、藝術感。



　　●零基礎——從零開始學習Python程式設計，從寫第一行程式到架設資料科學和機器學習應用，儘量將陡峭學習曲線拉平。



　　●知識網路——打破數學板塊之間的門檻，讓大家看到數學代數、幾何、線性代數、微積分、機率統計等板塊之間的聯繫，編織一張綿密的數學知識網路。



　　●動手——授人以魚不如授人以漁，和大家一起寫程式、創作數學動畫、互動App。



　　●學習生態——構造自主探究式學習生態環境「紙質圖書+電子圖書+程式檔案+視覺化工具+思維導圖」，提供各種優質學習資源。



　　●理論+實踐——從加減乘除到機器學習，叢書內容安排由淺入深、螺旋上升，兼顧理論和實踐；在程式設計中學習數學，學習數學時解決實際問題。



　　雖然本書標榜「從加減乘除到機器學習」，但是建議讀者朋友們至少具備高中數學知識。如果讀者正在學習或曾經學過大學數學（微積分、線性代數、機率統計），這套書就更容易讀懂了。



　　聊聊數學



　　數學是工具。錘子是工具，剪刀是工具，數學也是工具。



　　數學是思想。數學是人類思想高度抽象的結晶體。在其冷酷的外表之下，數學的核心實際上就是人類樸素的思想。學習數學時，知其然，更要知其所以然。不要死記硬背公式定理，理解背後的數學思想才是關鍵。如果你能畫一幅圖、用大白話描述清楚一個公式、一則定理，這就說明你真正理解了它。



　　數學是語言。就好比世界各地不同種族有自己的語言，數學則是人類共同的語言和邏輯。數學這門語言極其精準、高度抽象，放之四海而皆準。雖然我們中大多數人沒有被數學「女神」選中，不能為人類對數學認知開疆擴土；但是，這絲毫不妨礙我們使用數學這門語言。就好比，我們不會成為語言學家，我們完全可以使用母語和外語交流。



　　數學是系統。代數、幾何、線性代數、微積分、機率統計、最佳化方法等，看似一個個孤島，實際上都是數學網路的一條條織線。建議大家學習時，特別關注不同數學板塊之間的聯繫，見樹，更要見林。



　　數學是基石。拿破崙曾說「數學的日臻完善和國強民富息息相關。」數學是科學進步的根基，是經濟繁榮的支柱，是保家衛國的武器，是探索星辰大海的航船。



　　數學是藝術。數學和音樂、繪畫、建築一樣，都是人類藝術體驗。透過視覺化工具，我們會在看似枯燥的公式、定理、資料背後，發現數學之美。



　　數學是歷史，是人類共同記憶體。「歷史是過去，又屬於現在，同時在指引未來。」數學是人類的集體學習思考，它把人的思維符號化、形式化，進而記錄、累積、傳播、創新、發展。從甲骨、泥板、石板、竹簡、木牘、紙草、羊皮卷、活字印刷、紙質書，到數位媒介，這一過程持續了數千年，至今綿延不息。



　　數學是無窮無盡的想像力，是人類的好奇心，是自我挑戰的毅力，是一個接著一個的問題，是看似荒誕不經的猜想，是一次次膽大包天的批判性思考，是敢於站在前人臂膀之上的勇氣，是孜孜不倦地延展人類認知邊界的不懈努力。