A 部分 常微分方程式
第 1 章 一階常微分方程式
1.1 基本觀念、建模
1.2 y’ = f (x, y) 的幾何意義、方向場、Euler法
1.3 可分離ODE、建模
1.4 正合常微分方程式、積分因子
1.5 線性常微分方程式、Bernoulli方程式、族群動態學
1.6 正交軌跡 (選讀)
1.7 初值問題解的存在性與唯一性
第 2 章 二階線性常微分方程式
2.1 二階齊次線性ODE
2.2 常係數齊次線性ODE
2.3 微分運算子 (選讀)
2.4 質點－彈簧系統自由振盪模型
2.5 Euler-Cauchy方程式
2.6 解的存在性與唯一性、Wronskian
2.7 非齊次常微分方程式
2.8 建模：受力振盪、共振
2.9 建模：電路
2.10 參數變異法求解
第 3 章 高階線性常微分方程式
3.1 齊次線性ODE
3.2 常係數齊次線性ODE
3.3 非齊次線性ODE
第 4 章 ODE方程組、相位平面、定性方法
4.0 參考：矩陣與向量的基礎
4.1 作為工程應用模型的ODE方程組
4.2 ODE方程組的基本理論、Wronskian
4.3 常係數方程組、相位平面法
4.4 臨界點判別準則、穩定性
4.5 用於非線性方程組的定性方法
4.6 非齊次線性ODE方程組
第 5 章 ODE之級數解、特殊函數
5.1 冪級數法
5.2 Legendre方程式、Legendre多項式 Pn(x)
5.3 延伸冪級數法：Frobenius法
5.4 Bessel方程式、Bessel函數 Jv(x)
5.5 Bessel函數Yv(x) 、通解
第 6 章 Laplace 轉換
6.1 Laplace轉換、線性性質、第一平移定理 (s 平移)
6.2 導數及積分之轉換、常微分方程式
6.3 單位步階函數 (Heaviside函數)、第二平移定理 (t 平移)
6.4 短脈衝、Dirac’s Delta函數、部分分式
6.5 摺積、積分方程式
6.6 轉換式的微分與積分、變係數ODE
6.7 ODE方程組
6.8 Laplace轉換：一般公式
6.9 Laplace轉換表
B 部分 線性代數、向量微積分
第 7 章 線性代數：矩陣、向量、行列式、線性方程組
7.1 矩陣、向量：加法與純量乘法
7.2 矩陣乘法
7.3 線性方程組、高斯消去法
7.4 線性獨立、矩陣的秩、向量空間
7.5 線性方程組的解：存在性、唯一性
7.6 參考用：二階以及三階行列式
7.7 行列式、克拉瑪法則
7.8 逆矩陣、Gauss – Jordan 消去法
7.9 向量空間、內積空間、線性轉換 (選讀)
第 8 章 線性代數：矩陣特徵值問題
8.1 矩陣特徵值問題、求特徵值及特徵向量
8.2 特徵值問題的應用
8.3 對稱、斜對稱矩陣與正交矩陣
8.4 特徵基底、對角線化、二次形式
8.5 複數矩陣與形式 (選讀)
第 9 章 向量微分、梯度(Grad)、散度(Div)、旋度(Curl)
9.1 二維空間與三維空間的向量
9.2 向量內積 (點積)
9.3 向量積 (叉積)
9.4 向量與純量函數與場、向量微積分：導數
9.5 曲線、弧長、曲率、撓率
9.6 微積分複習：多變數函數 (選讀)
9.7 純量場的梯度、方向導數
9.8 向量場的散度
9.9 向量場的旋度
第 10 章 向量積分、積分定理
10.1 線積分
10.2 線積分之路徑無關性
10.3 微積分回顧：雙重積分 (選讀)
10.4 平面之Green定理
10.5 面積分的曲面
10.6 面積分
10.7 三重積分、高斯散度定理
10.8 散度定理之進一步應用
10.9 Stokes定理
C 部分 傅立葉分析、偏微分方程式 (PDE)
第 11 章 傅立葉分析
11.1 傅立葉級數
11.2 任意週期、偶函數與奇函數、半幅展開式
11.3 受力振盪
11.4 三角多項式的近似法
11.5 Sturm-Liouville問題、正交函數
11.6 正交級數、一般化傅立葉級數
11.7 傅立葉積分
11.8 傅立葉餘弦及正弦轉換
11.9 傅立葉轉換、離散及快速傅立葉轉換
11.10 轉換表
第 12 章 偏微分方程式 (PDE)
12.1 PDE的基本觀念
12.2 建模：振動弦、波動方程式
12.3 以分離變數法求解、使用傅立葉級數
12.4 波動方程式的 D’Alembert 解、特徵值
12.5 建模：空間中一物體上的熱傳、熱傳方程式
12.6 熱傳方程式：由傅立葉級數求解、穩態二維熱傳問題、Dirichlet 問題
12.7 熱傳方程式：極長棒之模型、用傅立葉積分與轉換求解
12.8 建模：薄膜、二維波動方程式
12.9 矩形薄膜、雙重傅立葉級數
12.10 極座標下的 Laplacian、圓形薄膜、Fourier-Bessel 級數
12.11 圓柱座標及球座標的 Laplace 方程式、勢能
12.12 以 Laplace 轉換求解PDE
專題研究
附錄 1 參考文獻
附錄 2 部分習題解答
附錄 3 輔助教材
A3.1 特殊函數之公式
A3.2 偏導數
A3.3 數列與級數
A3.4 在曲線座標中的梯度、散度、旋度及 ▽2
附錄 4 補充證明
附錄 5 函數表
附錄 6 應用數學的新興主題
