序章



第一章 柯尼斯七橋問題

1.1 由梨

1.2 一筆劃問題

1.3 從簡單的圖開始

1.4 圖與次數

1.5 這也是數學嗎？

1.6 《逆定理》的證明



第二章 莫比烏斯帶、克萊因瓶

2.1 頂樓

2.1.1 蒂蒂

2.1.2 莫比烏斯帶

2.2 教室

2.2.1 自習時間

2.3 圖書室

2.3.1 米爾迦

2.3.2 分類

2.3.3 閉曲面的分類

2.3.4 可定向曲面

2.3.5 不可定向曲面

2.3.6 展開圖

2.3.7 連通和

2.4 歸途

2.4.1 像質數般



第三章 蒂蒂的周圍

3.1 家人的周圍

3.1.1 由梨

3.2 0的周圍

3.2.1 問題練習

3.2.2 全等與相似

3.2.3 對應關係

3.3 實數a的周圍

3.3.1 全等、相似、同胚

3.3.2 連續函數

3.4 點a的周圍

3.4.1 前往異世界的準備

3.4.2 《距離的世界》實數a的δ鄰域

3.4.3 《距離的世界》開集

3.4.4 《距離的世界》開集的性質

3.4.5 從《距離的世界》到《拓樸的世界》之旅途

3.4.6 《拓樸的世界》開集的公理

3.4.7 《拓樸的世界》開鄰域

3.4.8 《拓樸的世界》連續映射

3.4.9 同胚映射

3.4.10 不變性

3.5 蒂蒂的周圍



第四章 非歐幾里得幾何學

4.1 球面幾何學

4.1.1 地球上的最短路徑

4.2 現在與未來之間

4.2.1 高中

4.3 雙曲幾何學

4.3.1 所謂的學習

4.3.2 非歐幾里得幾何學

4.3.3 鮑耶與羅巴切夫斯基

4.3.4 自家

4.4 跳脫出畢氏定理

4.4.1 麗莎

4.4.2 距離的定義

4.4.3 龐加萊圓盤模型

4.4.4 半平面模型

4.5 超越平行線公理

4.6 自家



第五章 跨入黎曼流形

5.1 跳脫出日常

5.1.1 輪到自己接受測試

5.1.2 為了打倒龍

5.1.3 由梨的疑問

5.1.4 考慮低維情形

5.1.5 會歪成甚麼樣子呢

5.2 跨入非日常

5.2.1 櫻花樹下

5.2.2 內外翻轉

5.2.3 展開圖

5.2.4 龐加萊猜想

5.2.5 二維球面

5.2.6 三維球面

5.3 要跨入，還是要跳出？

5.3.1 醒過來時

5.3.2 Eulerians



第六章 掌握看不到的形狀

6.1 掌握形狀

6.1.1 沉默的形狀

6.1.2 問題的形狀

6.1.3 發現

6.2 以群掌握形狀

6.2.1 以數作為線索

6.2.2 以何作為線索？

6.3 以自環掌握形狀

6.3.1 自環

6.3.2 自環上的同倫

6.3.3 同倫類

6.3.4 同倫群

6.4 掌握球面

6.4.1 自家

6.4.2 一維球面的基本群

6.4.3 二維球面的基本群

6.4.4 三維球面的基本群

6.4.5 龐加萊猜想

6.5 被限制的形狀

6.5.1 確認條件

6.5.2 掌握沒能看清的自己



第七章 微分方程式的溫度

7.1 微分方程式

7.1.1 音樂教室

7.1.2 教室

7.1.3 指數函數

7.1.4 三角函數

7.1.5 微分方程式的目的

7.1.6 彈簧的振盪

7.2 牛頓冷卻定律

7.2.1 下午的授課



第八章 絕妙定理

8.1 車站前

8.1.1 由梨

8.1.2 讓人訝異的事

8.2 自家

8.2.1 媽媽

8.2.2 珍稀之物

8.3 圖書室

8.3.1 蒂蒂

8.3.2 理所當然的事

8.4 《學倉》

8.4.1 米爾迦

8.4.2 傾聽

8.4.3 解謎

8.4.4 高斯曲率

8.4.5 絕妙定理

8.4.6 齊性與各向同性

8.4.7 回禮



第九章 靈光一閃與毅力

9.1 三角函數訓練

9.1.1 靈光一閃與毅力

9.1.2 單位圓

9.1.3 sin曲線

9.1.4 從旋轉矩陣到和角公式

9.1.5 從和角公式到積化和差公式

9.1.6 媽媽

9.2 合格判定模擬考

9.2.1 不要緊張

9.2.2 不要被騙到

9.2.3 需要靈光一閃還是需要毅力

9.3 看穿算式的本質

9.3.1 機率密度函數的研究

9.3.2 拉普拉斯積分的研究

9.4 傅立葉展開

9.4.1 靈光一閃

9.4.2 傅立葉展開

9.4.3 超越毅力

9.4.4 超越靈光一閃



第十章 龐加萊猜想

10.1 開放式研討會

10.1.1 課程結束之後

10.1.2 午餐時間

10.2 龐加萊

10.2.1 形狀

10.2.2 龐加萊猜想

10.2.3 瑟斯頓的幾何化猜想

10.2.4 哈密頓的里奇流方程式

10.3 數學家們

10.3.1 年表

10.3.2 菲爾茲獎

10.3.3 千禧年大獎難題

10.4 哈密頓

10.4.1 里奇流方程式

10.4.2 傅立葉的熱傳導方程式

10.4.3 想法的逆轉

10.4.4 哈密頓計畫

10.5 佩雷爾曼

10.5.1 佩雷爾曼的論文

10.5.2 再多前進一步

10.6 傅立葉

10.6.1 傅立葉的時代

10.6.2 熱傳導方程式

10.6.3 變數分離法

10.6.4 重疊積分

10.6.5 傅立葉積分

10.6.6 觀察類似物

10.6.7 回到里奇流方程式

10.7 我們

10.7.1 從過去到未來

10.7.2 若冬天來到

10.7.3 春天就不遠了

尾聲

後記

索引

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序



　　給讀者



　　本書中出現了各式各樣的數學問題，包括簡單到連小學生都懂的問題，以至於連大學生都感到困難的問題。



　　除了使用語言、圖形，以及程式之外，也會使用算式來表現登場人物的思考脈絡。



　　如果不明白算式的意義，可將算式放一邊，先去追隨故事情節發展。蒂蒂與由梨會陪伴著你一起走下去。



　　而對數學很拿手的讀者，除了故事之外，請務必跟隨算式的腳步拾級而上。如此一來，可將故事的全貌看得更清楚。

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