目錄i

圖目錄v

推薦序vii

自序xv

本書使用手冊xx

0 高等微積分(數學分析) 簡介. . . .1

0.1 什麼是高等微積分? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

0.2 高等微積分是有多困難? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

0.3 高等微積分的數學屬性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

0.4 學高等微積分時需要注意哪些事情? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

0.5 如何學好高等微積分? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

0.6 課堂上該如何學習? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

0.7 關於寫作業的默契. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

0.7.1 作業設計原理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

0.7.2 學生如何看待作業? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

0.8 從修課學生的觀點看高等微積分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

0.8.1 數學系二年級學生修完高等微積分課的心得— 顏伯霖. . . . . . . . . . . 21

0.8.2 數學系二年級學生從寫作業的過程體會高等微積分— 邱?南. . . . . . . . 22

0.8.3 外系同學對於高等微積分的看法— 游崇祐. . . . . . . . . . . . . . . . . 23

0.8.4 高年級同學對於高等微積分課採取的讀書策略— 李秉軒. . . . . . . . . . 24

0.9 結語. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1 實數系的建構與性質. . . .27

1.1 有理數的基本性質. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.2 戴德金切割與實數的完備性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.3 可數集與不可數集. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

習題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2 數列的極限理論. . . .55

2.1 數列極限的精確定義. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.2 收斂數列的性質. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.3 單調數列理論. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

2.4 子數列理論. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.5 無窮小與無窮大. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

習題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3 實數的完備性. . . .83

3.1 單調有界定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.2 區間套定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.3 有限覆蓋定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.4 數列緊緻性定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.5 柯西收斂準則. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.6 由柯西收斂準則證明戴德金切割原理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3.7 與柯西數列相關的討論. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.8 理論的推廣與抽象化. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

習題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4 函數的極限與連續函數. . . .95

4.1 函數的極限. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.2 函數極限的性質. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.3 連續函數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

4.4 均勻連續. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.5 有界閉區間上連續函數的性質. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

4.6 中間值定理的應用. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

4.7 附錄. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

習題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

5 導數與微分. . . .137

5.1 導數的定義. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

5.2 導數的性質與求導法則. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

5.3 均值定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

5.4 羅必達法則. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

5.5 幾個導數理論的重要結果. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

5.5.1 對數函數的等級. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

5.5.2 反導函數的起源. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

5.5.3 導函數的一些限制. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

5.5.4 函數的遞增遞減與凹口. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

5.6 微分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

5.7 附錄. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

習題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

6 黎曼積分理論. . . .175

6.1 定積分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

6.2 黎曼可積的充要條件. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

6.3 可積分的函數與黎曼可積的性質. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

6.4 微積分基本定理與積分技巧的證明. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

6.5 定積分的應用. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

習題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

7 瑕積分理論. . . .207

7.1 瑕積分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

7.2 第一類瑕積分的收斂理論. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

7.3 第二類瑕積分的收斂理論. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

7.4 伽瑪函數與高斯積分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

7.4.1 伽瑪函數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

7.4.2 高斯積分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

習題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

8 無窮級數理論. . . .233

8.1 無窮級數的基本性質. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

8.2 正項級數的收斂判別法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

8.3 一般級數的收斂判別法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

8.4 無窮級數的加法交換律與乘法分配律. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

習題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

9 函數項級數. . . .263

9.1 均勻收斂. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

9.2 均勻收斂的性質. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

9.3 函數項級數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

9.4 冪級數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

9.5 泰勒級數理論. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

習題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

10 多變數微分理論. . . .305

10.1 隱函數定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

10.2 反函數定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

10.3 函數獨立與函數相依. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

習題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

參考文獻. . . .325

索引. . . .327