給讀者　i

序章　xiii

第 1 章 質數定理

1.1 質數是直線

1.1.1 在客廳

1.1.2 質數的定義

1.1.3 南瓜湯

1.1.4 各種版本的質數定義

1.1.5 因數的分布

1.1.6 對數函數log

1.2 質數有無限多個

1.2.1 由梨的提問

1.2.2 質數無限性的證明（歐幾里得）

1.2.3 質數無限性的證明（反證法）

1.3 質數的分布

1.3.1 質數的分布？

1.3.2 少年高斯

1.3.3 質數定理

1.3.4 抽出質數的抽籤

1.3.5 不斷重複的提問

1.3.6 目擊情報

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第 2 章 歐拉乘積

2.1 自家

2.1.1 無窮等比級數的和

2.1.2 倒數計時

2.2 書店

2.2.1 蒂蒂

2.2.2 複變分析

2.3 餐廳

2.3.1 自己的數學

2.3.2 歐拉乘積

2.3.3 歐拉的發現

2.3.4 證明呢？

2.3.5 關注因子

2.3.6 用餐

2.3.7 質數與自然數的絕妙關係

2.4 餐後

2.4.1 細細品嚐甜點

2.4.2 調和數的回憶

2.4.3 調和數Hn 與對數函數log x

2.4.4 另一個證明

2.5 甜點後的苦澀

2.5.1 質數的無限性

2.5.2 蒂蒂的提問

2.5.3 重建證明

2.6 歸途

2.6.1 公園

2.6.2 數學界最大的未解決問題

2.6.3 剩餘天數

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第 3 章 在無窮遠點碰面

3.1 在我的房間

3.1.1 考生的新年

3.1.2 米爾迦

3.1.3 自主討論會

3.1.4 Zeta 函數ζ(s)

3.2 客廳

3.2.1 下午茶時間

3.2.2 未來的路

3.3 除以零

3.3.1 各式各樣的自主討論會

3.3.2 除以零

3.3.3 極限

3.4 擴充數線

3.4.1 引入無窮遠點∞

3.4.2 以單位圓建立模型

3.4.3 關注函數

3.4.4 函數 的連續性

3.4.5 的單點緊緻化

3.5 擴充複數平面

3.5.1 引入無窮遠點∞

3.5.2 以單位球建立模型β

3.5.3 關注函數

3.5.4 推廣的意義

3.5.5 相約在無窮遠點

3.6 自家

3.6.1 海的味道

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第 4 章 複變函數的探險

4.1 探險的邀請

4.1.1 沉浸在數學中

4.1.2 視聽教室

4.2 從實變函數到複變函數

4.2.1 實變函數

4.2.2 複變函數

4.3 的探險

4.3.1 轉換格點

4.3.2 轉換水平線與垂直線 ?

4.3.3 轉換半圓 ?

4.3.4 轉換幽靈 ?

4.4 的探險 ?

4.4.1 問題

4.4.2 討論

4.4.3 解答

4.4.4 對稱性的探險

4.4.5 和的探險

4.5 複變函數的探險

4.5.1 指數函數ez

4.5.2 三角函數cos z 與sin z

4.6 歸途

4.6.1 蒂蒂

4.6.2 米爾迦

4.6.3 未來的路

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第 5 章 複變函數的微分

5.1 早晨的上學途中

5.1.1 由梨

5.1.2 微分

5.2 白天的階梯教室

5.2.1 蒂蒂

5.2.2 複變函數的微分

5.2.3 實變函數的導數

5.3 下午的教室

5.3.1 米爾迦

5.4 放學後的「學倉」

5.4.1 米爾迦與蒂蒂

5.4.2 三種微分

5.4.3 蘭道的小o 符號

5.4.4 微分與切線、全微分與切平面

5.4.5 兩種推廣

5.4.6 ㄅ可複數微分? 可全微分的證明

5.4.7 ㄆ可複數微分?/ 可全微分的證明

5.4.8 偏導數的求算方法

5.4.9 柯西－黎曼方程式

5.4.10 複變函數中導數的意義

5.4.11 全純函數是保角映射

5.5 晚上的歸途

5.5.1 蒂蒂.

第 6 章 log(–1) 的螺旋梯

6.1 二次試驗開始

6.1.1 一如往常卻又與平時不同

6.2 二次試驗結束

6.2.1 與母親的對話

6.2.2 蒂蒂的信

6.2.3 我的信

6.3 我的卡片

6.3.1 圖書室

6.3.2 蒂蒂的點子

6.3.3 從e^x到e^z

6.3.4 我的點子

6.4 米爾迦的卡片

6.4.1 最美的數學式

6.4.2 「指數函數的週期性」與「對數函數的多值性」

6.4.3 「輻角主值」與「對數函數主值」

6.5 複數積分

6.5.1 以積分定義log x

6.5.2 以積分定義log z

6.5.3 進一步延拓

6.5.4 對數函數的黎曼曲面

6.6 我的決心

6.6.1 燈塔

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第 7 章 Zeta 函數與莫比烏斯函數

7.1 在禮堂的畢業典禮

7.1.1 我

7.1.2 永永

7.2 在圖書室做冪級數展開

7.2.1 蒂蒂

7.2.2 全純函數的冪級數展開

7.2.3 以0 為中心的1/(1 – z) 的冪級數展開

7.2.4 以–1為中心的1/(1 – z) 的冪級數展開

7.2.5 以 I 為中心的1/(1 – z) 的冪級數展開

7.3 在圖書室做解析延拓

7.3.1 收斂圓的拼接

7.3.2 恆等定理

7.4 在圖書室的洛朗展開

7.4.1 洛朗展開

7.4.2 Zeta 函數ζ(z) 的洛朗展開

7.4.3 解析數論

7.5 在圖書室的狄利克雷生成函數

7.5.1 狄利克雷級數展開

7.5.2 生成函數與狄利克雷生成函數

7.5.3 米爾迦的「作業」

7.5.4 圖書室討論會的畢業典禮

7.6 在家中研究狄利克雷生成函數

7.6.1 面對「自己的數學」

7.6.2 思考「作業」

7.6.3 展開與觀察

7.7 在咖啡廳談莫比烏斯函數

7.7.1 莫比烏斯函數的定義

7.7.2 莫比烏斯函數的性質

7.7.3 問題7-2 的解答

7.8 在咖啡店談摺積

7.8.1 生成函數與摺積

7.8.2 狄利克雷生成函數與狄利克雷摺積

7.9 在咖啡店的反演公式

7.9.1 莫比烏斯函數的反演公式

7.9.2 邁向Gamma 函數

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第? 8 章 驚奇的Gamma 函數

8.1 由梨！

8.1.1 階乘.

8.1.2 告白

8.2 蒂蒂！

8.2.1 Gamma 函數?(x)

8.2.2 ?(1) = 1

8.2.3 ?(x + 1) = x ?(x)

8.3 麗莎！

8.3.1 稱呼

8.3.2 ?(x) 的圖形

8.4 米爾迦！

8.4.1 頭髮

8.4.2 米爾迦的提問

8.4.3 我的回答

8.4.4 蒂蒂的計算

8.4.5 麗莎的圖形

8.5 Gamma 函數！

8.5.1 作為複變函數的Gamma 函數 .

8.5.2 | ?(s) | 的圖形

8.5.3 神秘的–1

8.5.4 梅林轉換

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第 9 章 複數積分巡禮

9.1 複數積分

9.1.1 我的家

9.1.2 蒂蒂的困惑

9.1.3 實數積分與複數積分

9.1.4 積分路徑

9.1.5 複數積分的定義

9.1.6 區域

9.1.7 單連通區域

9.2 柯西積分定理

9.2.1 z 沿圓周的圍道積分

9.2.2 z 沿矩形的圍道積分

9.2.3 柯西積分定理

9.3 柯西積分公式

9.3.1 將1/z 沿圓周作圍道積分

9.3.2 (z – a)n 的圍道積分

9.3.3 柯西積分公式

9.4 留數定理

9.4.1 奇異點的分類

9.4.2 留數

9.4.3 求留數的方法

9.5 複數積分總結

9.5.1 定理與公式總結

9.5.2 在實數積分上的應用

9.5.3 畢業紀念討論會

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第 10 章 黎曼猜想

10.1 畢業紀念討論會

10.1.1 ?倉圖書館

10.1.2 黎曼論文

10.2 黎曼論文（Zeta 函數）

10.2.1 黎曼論文的起點

10.2.2 複數的複數次方

10.2.3 ζ(s) 在Re(s) > 1 時收斂

10.3 黎曼的論文（解析延拓）

10.3.1 邁向解析延拓

10.3.2 第一積分表示法

10.3.3 以複數積分計算積分

10.3.4 我的疑問

10.3.5 積分路徑C2

10.3.6 解析延拓總結

10.4 黎曼的論文（極點與平凡零點）

10.4.1 極點與平凡零點

10.4.2 極點

10.4.3 平凡零點

10.5 黎曼的論文（函數方程式）

10.5.1 函數方程式與完備Zeta函數

10.5.2 非平凡零點

10.5.3 函數方程式的證明

10.5.4 ζ(–1)

10.6 黎曼的論文（黎曼猜想）

10.6.1 邁向黎曼猜想

10.6.2 臨界帶與臨界線

10.6.3 臨界線經ζ(s) 轉換後的對應圖像

10.6.4 黎曼猜想與質數定理

10.6.5 Zeta 函數的分區塗色

10.7 黎曼的論文（質數計數函數）

10.7.1 質數計數函數π(x) 與對數積分Li(x)

10.7.2 傅立葉反轉換公式

10.7.3 關於質數冪pⁿ的有趣研究

10.7.4 邁向質數顯式公式

10.7.5 使用莫比烏斯反演公式的計算

10.7.6 非平凡零點所揭示的質數

10.7.7 黎曼論文總結

10.8 迷你黎曼猜想

10.8.1 迷你Zeta函數

10.8.2 迷你歐拉乘積

10.8.3 ZN(s) 的函數方程式

10.8.4 ZN(s) 的迷你黎曼猜想

10.8.5 若ZN(s) = 0 則Re(s) = 0 的證明

10.9 跨越時空

10.9.1 餐廳.

10.9.2 讀完黎曼的論文之後

10.9.3 黎曼留下的遺產

10.9.4 新的旅程

尾聲

後記

參考文獻與延伸閱讀

索引

序章

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人們常說，一旦成為回憶，一切都會顯得美麗，

但大家都誤解了這句話的意思。

並不是我們會去美化過去。

而是過去本身，不會再帶給我們多餘的思緒。

—小林秀雄《所謂無常》

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一個結束，就是另一個開始。

承繼於過去，寄託於未來。

過去無法改變。所以我們才仰望未來。

未來無法預知。所以我們才回首過去。

歐幾里得、費馬、歐拉。

高斯、伽羅瓦、黎曼、龐加萊。

以及，無數的數學家們。

數學能跨越時空。

數學能跨越時空，傳遞到我們手中。

數學能跨越時空，引導我們。

我們渡過猜想之海，穿過證明之森，抵達定理之丘。

然後—─眺望遠方另一片新的猜想之海。

數學，能跨越時空。

我們正在送出跨越時空的訊息。

將這些訊息—─交給未來的你。