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毛起來說e(第二版)

毛起來說e(第二版)

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9789863204039
毛爾
天下文化
2014年2月26日
110.00  元
HK$ 93.5
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ISBN:9789863204039
  • 叢書系列:科學天地
  • 規格:平裝 / 304頁 / 14.8 x 20.5 cm / 普通級
    科學天地


  • 自然科普 > 數學 > 其他


















      e=2.718281828...。這個在「e世代」最常見到的字母,正是數學裡最重要的五個數之一,另外四個是你我都熟悉0、1、π及i。



      e到底是怎樣一個數,竟然重要到能寫成一本書?



      ◆e是自然對數的底,而自然對數與複利計算、行星軌道有關,更是微積分與高等數學的常客。



      ◆自然指數函數ex的導數等於他自己,這個特質使他成為數學與其他科學的中心角色,也說明了為什麼核廢料在丟棄多年之後,仍然有危險性。



      ◆看起來屬於代數範圍的e,與幾何的關係也息息相關。從黃金矩形、鸚鵡螺螺紋、螺旋星系,乃至求雙曲線的面積這樣的問題,都少不了e。



      ◆除了理論與邏輯外,e也常出現在我們的藝術生活中。巴哈獨創的十二平均律音階,與對數螺線有異曲同工之妙;賞心悅目的裝飾美學,也是由神奇螺線所蹦出來的點子。



      說書人毛爾用數學家小傳、軼聞甚至虛擬對話,串連起e的發展原委,帶領你從十六世紀開始,探索e的驚奇。

    ?








    導讀

    作者序  



    第1章 納皮爾:對數的創始者 1 

    第2章 迎接對數 13  

    第3章 財務問題 30

    第4章 極限 37

    第5章 微積分的源起  55

    第6章 突破的前奏 67

    第7章 求雙曲線面積  78

    第8章 一門新科學的誕生 94

    第9章 大爭論  112

    第10章 ex:等於自己導數的函數 135

    第11章 e?:神奇螺線  158

    第12章 (ex+e?x)/2:懸著的鏈子 195

    第13章 eix:最有名的公式 214

    第14章 ex+iy:想像成真 230 

    第15章 但它到底是怎樣一個數呢? 263 



    附錄一 納皮爾對數的一些補充說明 279 

    附錄二 當n→∞時,極限值lim(1+1/n)n存在 282 

    附錄三 微積分基本定理的啟發式推導過程 286

    附錄四 當h→0時,lim(bh–1)/h=1 與lim(1+h)1/h=b之間的關係 288

    附錄五 對數函數的另一種定義  290

    附錄六 對數螺線的兩個性質 293

    附錄七 雙曲函數中的參數? ?如何解釋 297

    附錄八 e展開到小數一百位 300

    參考書目












    e:一個數字的故事




      我第一次接觸到π這個數字,應該是在九歲或十歲的時候。父親的一位朋友有個工廠,有天他邀請我去參觀。屋子裡到處都是工具和機器,空氣裡瀰漫著重重的汽油味。我對五金這類東西從來就沒什麼興趣,父親的朋友必定察覺到我的無聊,於是帶我去看一個上面有好幾個飛輪(flywheel)的大機器。他對我解釋說,不管一個輪子是大是小,它的圓周和直徑都維持一個固定的比例,而這個比例大約是3又1/7。這個奇怪的數激起了我的好奇心,而當他補充說明,從來還沒有人把這個數確確實實地寫下來——只能寫出近似值的時候,就叫我加倍地驚訝了。



      可是這個數太重要了,重要到需要用一個符號專門代表它,也就是希臘字母π。我禁不住自問,為什麼像圓這麼簡單的形狀,會跟一個這麼奇怪的數字有關聯呢?那時我還不大知道,就是這個數字迷住科學家將近四千年,而且有些和它有關的問題,到現在都還沒得到解答呢。



      幾年之後我讀高二,正修習代數的時候,另一個數字又吸引了我的注意。課程裡面有個很重要的部分,就是對數(logarithm)。那個時候離掌上型計算機的發明還早的很,任何想要學更高等數學的人,都必須使用對數表。別提那些表有多可怕了,封面是綠色的,由以色列教育部發行!我們得做上幾百道的習題,還一邊擔心會不會看漏一列或查錯一行,真可以把人煩死。



      我們用的對數叫做「常用對數」(common logarithm),是以10為底的,感覺很自然。但是表裡面竟還有一頁叫做「自然對數」(natural logarithm)。當我提出疑問,怎麼可能會有比以10為底的對數更「自然」的對數時,老師回答說,有一個特別的數,是用字母e來代表的,它的值差不多是2.71828,在更高等的數學裡面是用它當做底的。為什麼會用這麼奇怪的數字呢?這還得等到我高三學微積分的時候,才找得到答案。



      這會兒π有個表兄弟了。我們免不了要比較一下這兩個數,尤其這兩個數的值相當接近,讓人更想仔細地推敲。在我讀了幾年大學之後才學到,這兩位表兄弟還真是關係密切,而這層關係由於第三個數,i,的存在而更為神祕。i是有名的「虛數單位」(imaginary unit),也就是-1的平方根。在接下來我要講的數學故事裡的主角,現在都到齊了。



      由e開始串連



      π的故事已經有很多人說過了,一方面無疑是因為π的歷史悠久,再者也因為不需要懂什麼高深的數學,就可以了解π的故事的大部分。可能沒有一本書比貝克曼(Petr Beckmann)寫的《π的歷史》(A History of π)更好的了。這本書的講解不僅通俗,而且清楚、確實,堪為此類書的範本。



      而e這個數字就沒這樣的待遇了。一方面e的歷史出現得比較晚,另一方面它的歷史又和微積分密切相關,而微積分在傳統上被視為通往較高深數學的入門。根據我的了解,在內容上討論e的歷史,而可媲美於貝克曼之《π的歷史》這樣的書,還沒有出現。我希望這本書可以填補這個空缺。



      我寫這本書的目的,是用一般數學程度的讀者所能接受的數學水準來講e的故事。在內文中盡量少用數學,還把幾個證明和推導過程「發配」到附錄裡去。我偶爾會偏離主題,去探索一些從歷史角度來看很有趣的課題。當中包括在e的歷史中佔有一席之地的許多人物的生平描述,其中有些人名,在教科書中是難得提到的。最主要的是,我想要呈現與指數函數ex(exponential function)有關的各式各樣現象,從物理的到生物的,再從藝術到音樂,使它們在離數學很遠的好些領域中,也成為有趣的主題。



      我對有些主題的表達方式和一般微積分教科書中的傳統方式不一樣。舉例來說,要證明函數y=ex的導數(derivative)等於它自己時,大部分教科書會先導出d(lnx)/dx=1/x這個公式,導的過程已經不短了。然後得再利用反函數(inverse function)的導數公式,才能得到所要的結果。我總覺得沒有必要這麼麻煩:我們可以直接導出d(ex)/dx=ex,而且快得多,方法是先證明一個一般的指數函數y=bx的導數,是和bx成比例的,然後再找出怎樣的b值會使這個比例常數的值為1(導的過程在附錄4)。



      另外,在高等數學裡常出現的式子cos x+i sin x,我用了一個比較簡潔的記號cis x來代替,希望這個較短的表達式,以後能夠多多流通。在考慮圓函數(circular function)以及雙曲函數(hyperbolic function)的相似處時,最漂亮的結果之一,就是對於這兩個函數,都可以把自變數表示成幾何上的面積;這項結果是瑞卡堤(Vincenzo Riccati, 1707~1775,義大利數學家)在1750年所發現的,使這兩類函數之間的相似程度更突出了。這個事實在教科書中很少被提及,我們會在第12章以及附錄7中討論。



      在我探討這個問題的過程中,很快就明白了一件事情:在發明微積分以前至少半個世紀,數學家就知道e這個數字了〔1618年,萊特(Edward Wright)將納皮爾(John Napier, 1550-1617,蘇格蘭數學家,發明對數)在對數上的一些結果翻譯成英文的譯本中,已經提到這個數字〕。



      怎麼會這樣呢?有一個可能的解釋是,e這個數字最早出現時,是和計算複利的公式有關。一定是有某個人,我們不知道是誰,也不知什麼時候,注意到這件稀奇事,就是如果本金P以年利率r計息,一年以複利計息n次,總共計算t年時,如果讓n無限制的加大,t年後的總額S,即S=P(1+r/n)nt,似乎會趨近某一個極限值(limit)。這個極限值當P=1,r=1及t=1的時候,大約是2.718,這極有可能是從實際經驗觀察來的,而不是嚴密的數學推導結果,而此發現一定讓十七世紀初期的數學家吃了一驚,因為那時他們還沒有極限的概念。所以呢,e這個數字以及指數函數ex的起源,很可能始於一個世俗的問題:金錢隨著時間增加的方式。



      然而我們會看到,有些其他問題也各自獨立地連接上e這個數字,其中較熟悉的例子是雙曲線y=1/x底下的面積,這麼一來,e的真正源起就更神祕莫測了。把e當做自然對數的底,這個大家更熟悉的角色,就得等到十八世紀前半部,當歐拉(Leonhard Euler, 1707-1783,瑞士數學家)在他的數學成果中賦予指數函數在微積分裡擔任重要角色的時候了。



      以歷史跳脫公式



      雖然資料常有矛盾,尤其是在某些發現到底孰先孰後時,但我還是盡了最大努力,儘可能地提供正確的人名和日期。十七世紀初期是數學活動空前蓬勃的時代,常有好幾個科學家,在不知別人在做什麼的狀況下,在差不多時候發展出類似觀念,得到類似的結果。把自己的結果發表於科學期刊這種做法還不普及,所以有些當時最偉大的發現,是以書信、小冊子或者流通不廣的書的形式流傳於世,以至於很難決定到底誰最先發現了什麼。這種令人遺憾的狀況,在誰先發明微積分的激烈爭論中達到高峰,這個爭論使得當代一些最出色的人士變得對立,對於在牛頓之後,英國的數學幾乎有一世紀的時間進展緩慢,影響不可謂不大。



      我在大學裡教過各種程度的數學,所以很清楚許多學生對這門學科的負面態度。理由當然有很多,其中之一無疑是我們教這門課時所用的深奧、枯燥的教法。我們傾向於教給學生一大堆的公式、定義、定理和證明,可是很少提到它們是怎麼「演化」出來的,結果給學生的印象是,這些事實是由某位很神聖的權威交到我們手上的,就像十誡一樣。要更正這些印象,講點教學歷史是很好的方法。在我的課堂上,我總是試圖加入一些和公式或定理有關的數學歷史,或者相關人物的插曲。這本書有一部分就是從這種教法衍生出來的。希望本書能達到我所企盼的目的。



      多謝我太太黛麗兒,對我寫這本書的珍貴支持和幫助,也謝謝兒子艾耶幫忙畫插圖。沒有他們,就沒有呈現在您眼前的這本書。



    1993年1月7日於伊利諾州






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