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數學也可以這樣學

數學也可以這樣學

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9789862729519
約翰.布雷克伍德
洪萬生,廖傑成,陳玉芬,彭良禎
商周出版
2016年1月09日
127.00  元
HK$ 107.95
省下 $19.05
 
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ISBN:9789862729519
  • 叢書系列:超高效學習術
  • 規格:平裝 / 224頁 / 17 x 23 cm / 普通級
    超高效學習術


  • 自然科普 > 數學 > 趣味數學


















    一沙一世界,一花一天堂

    飄落的雪花是幾何;太陽月亮是週期;葉子的節點是數列

    換個方式學數學,你將發現自然的美麗及宇宙的秩序





    推薦序

    譯者序

    導言



    第一章 大自然中的數學

    .技巧的複習與回顧 .圓的形式 .六邊形的形式 .螺線的形式

    .阿基米德螺線 .等角螺線 .斐波那契數及其數列 .斐波那契螺線

    . ,斐波那契以及「黃金切割」 .1.618 或 0.618?



    第二章 畢達哥拉斯與數目

    .為何畢達哥拉斯? .數目 .質性的數目 .各種數目系統

    .十進位數目,指數寫法(長式)和我們普遍的簡寫形式

    .長式和簡式寫法 .二進位數 .度量 .距離與角 .角的度量

    .熟悉的度量工具 .數目的種類 .質數和伊拉托森尼斯篩子

    .質數的篩子 .畢氏三數組 .畢氏定理 .演示 .婆什迦羅的證明



    第三章 柏拉圖立體

    .柏拉圖立體 .歷史上的柏拉圖立體 .平面圖形

    .三種特殊的直角三角形 .正立方體摺紙 .三種三角形的細節

    .碗和馬鞍 .葉面及其孔洞和皺摺 .中心點與外圍 .四面體

    .正四面體在哪裡? .正八面體 .正八面體展開圖 .正八面體實例

    .正六面體(或正立方體) .正六面體展開圖 .正六面體實例

    .交錯穿插的正立方體和正八面體 .正二十面體與正十二面體

    .正二十面體展開圖 .正二十面體的黃金分割結構 .正十二面體

    .再談黃金矩形 .正十二面體展開圖 .歐幾里得《幾何原本》第十三冊

    .歐拉法則 .學生作品



    第四章 節奏與週期

    .旋轉、節奏與週期 .時間 .輪子 .圓和直徑

    .圓周與直徑 .阿基米德應用多邊形的進路 .用正八邊形來計算

    . 的命名 . 的遞增精確度 .圓周 .微小、中等及巨大的尺寸

    .圓形 .白天、夜晚及內布拉星象盤 .奠基於哥白尼的當代基本圖像

    .季節 .地球繞著太陽的橢圓路徑 .克卜勒的行星運動定律

    .大的和小的連結 .人類和宇宙的節奏



    謝詞

    參考文獻

    索引





    推薦序



    洪萬生

    幫助學生體會數學(美)無所不在


     

      這一兩年來,「另類的」數學普及書籍成為出版商的注目焦點。以今年出版的作品為例,除了數學小說(mathematical fiction)文類的繼續風行之外,像《這才是數學》這一類的書寫,高舉數學教育的基進(radical)改革旗號,內容基調卻回歸古典(classical),總是帶給我們一種「今昔時空」疊置,不知身心何所依違之感。不過,也正因為這種既在地又抽離的處境,讓我們可以從容地體會數學的如何有趣,甚至如何有用。



      本書《數學也可以這樣學》就是另一本這樣一類的數學普及作品,儘管其中包括作者教給七、八年級學生的主要數學課程內容。作者約翰?布雷克伍德任教於澳洲史泰納學校──華德福實驗教育系統的一環,因而本書也被納入華德福教育資源(Waldorf Education Resources)叢書。平心而論,作者的數學觀點不如《這才是數學》的作者來得基進,不過,堅持數學的某些進路與練習,則並無二致。而所有這些,則都指向數學的有趣面向。譬如說吧,本書的英文原版書名《 Mathematics in Nature, Space and Time》,就是企圖說明數學在天生自然領域、在空間脈絡以及在時間的流變中的無所不在。作者更是利用本書例證,強調「數學是描述世界的一種語言──上帝所創造的一種語言」。對他來說,數學是一種真正的門道或法門,「引領我們走向大自然之工作室(workshop of nature)的漸增理解」,因為「吾人可以相信不僅存有諸神,而且也可以對祂們#如何#運作產生興趣」。換言之,數學在大自然界中的無所不在,都是上帝的神工,而理解或鑑賞它們的不凡與美妙,則是榮耀上帝的一條進路。



      數學實作(mathematical practice)可以「接近神蹟」的華德福教育哲學主張,正是十八世紀西方自然神學(natural theology)的現代翻版。顯然,這種主張就是將數學實作類比為一種「靈修」的過程。因為誠如史泰納(Rudolf Steiner)在他的《靈性活動的哲學》所指出,「有了(數學)思維活動,我們已經掌握了靈性的一個小小的角落。」



      既然是靈修,那麼,數學實作回歸古典,依循古代哲人的進路,似乎是勢所必然。這或許也解釋了何以作者那麼鍾愛希臘古典幾何學中的尺規作圖。事實上,本書第一章一開始的練習一和二,就依序是(在給定線段上)作垂線,以及二等分角的尺規作圖。而全書的尺規作圖練習,則多達十幾個。可見,作者在繪製幾何圖形時,就十分貼近地呼應希臘古典幾何的「精確」要求。



      希臘數學家,比如最具代表性的歐幾里得,就視「精確圖形」與「尺規作圖」是一體兩面。所謂尺規作圖,是指運用圓規與沒有刻度的直尺,在有限多次的步驟中,畫出一個圖形。這是古希臘歐幾里得在他的經典《幾何原本》中,所允許使用的作圖方法。按照他的主張,只要不是運用這種方法所作出來的圖形,就不能稱之為存在,因而也就不是數學研究的合法對象。這種合法性(legitimacy)由於結合了嚴格的邏輯證明,使得圖形的「精確」顯得理所當然,從而它們的「存在」也就無庸置疑了。



      現在,讓我們簡要介紹本書內容。按照知識內容來分類,各章主題依序是幾何、數論(number theory)、柏拉圖立體,以及克卜勒三大行星運動定律。 有關最後一章的科學史敘事,作者認為克卜勒的不朽成就,完全在於他「對大自然的節奏理解」,因而可以「成為真正的自然科學」。此外,作者還針對人體(小宇宙)和大宇宙的節奏之對應關係,指出人類可視為巨觀中的微觀,於是,「男人是由上帝的形象造成的」,乃成為數學靈修的最後徹悟。



      至於本書前三章內容都曾經在《幾何原本》出現,再度地見證這部偉大經典在作者心目中的地位。事實上,《幾何原本》討論的部份主題如下:第 I、III 及 IV 冊是平面幾何;第 XI-XII 冊是立體幾何;第 VII-IX 冊是數論,還有,第XIII一冊,亦即最後一冊,則是柏拉圖立體。附帶一提,這最後一冊的內容與前面各章幾何學(無論平面或立體)之關連,看起來在融貫性(coherence)方面上較為不足;亦即,這五個柏拉圖正立方體的存在,顯然並非歐氏幾何學知識系統不可或缺的一環,儘管本冊的所有命題之證明,當然還是完全依賴前面(相關)的命題。對於這樣的安排,數學史家猜測這是歐幾里得為了向柏拉圖「交心」,因為在有關知識本質方面,《幾何原本》被認為比較偏向亞里斯多德,他認為數學是被發明的,不過,他的師傅柏拉圖卻主張數學是被發現的,兩者明顯地有所不同。如將柏拉圖在《蒂邁歐篇》(Timaeus)中所塑造的造物主,轉換為基督教的上帝,那麼,作者的數學觀貼近柏拉圖主義,也就不言可喻了。



      柏拉圖數學哲學所引伸出來的認知方法當然有其侷限,因為他的《米諾篇》(Meno)基於人生而有知,而認為知識是吾人只需經由「啟發」即可恢復的「前世」記憶(recollecting)。不過,本書所布置的數學練習,卻大大彌補了這個不足。經由摺紙及立體模型之(動手)製作,再輔以本書一再出現的尺規作圖,作者具體呈現了數學知識是吾人經由實作、再發明(re-inventing)而獲得的過程。這種「默合」亞里斯多德的現身說法,對於現代的數學教學現場,其實蠻具有提醒的功用,非常值得我們注意。



      以上,我針對柏拉圖 vs. 亞里斯多德在(數學)認識論(epistemology)上的歧異,做了一點起碼的釐清。我的目的之一,無非是想要指出:儘管華德福的教育實驗,是基於他們首重靈性活動的教育哲學,然而,無論他們的認識論是否完備,甚至是否可以讓本書內容來佐證,從教育的所謂成效來看,其實都無關宏旨。這是因為如果第七、八年級階段的數學教育理想,是希望幫助學生體會數學(美)無所不在,從而通過模式(pattern)的掌握來學習它如何有用,那麼,本書內容就可以在我們的學校課程中,佔有一席之地了。



      這麼說來,我們又將如何善用本書呢?為了要好好地感受數學那種令人無比驚奇的美,我強烈建議讀者好好地跟隨作者,做那五十八道練習。同時,我也希望讀者好好品味本書插圖,尤其是學生的作品,更是我們老師鼓勵學生在解題之外,應該著力的數學知識活動之範例。總之,本書是一本「另類的」數學普及作品,如果你也能運用另類的眼光來看待它,那麼,你就會有意想不到的收穫。




    本文作者為臺灣師範大學數學系退休教授




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