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數學大觀念:從數字到微積分,全面理解數學的12大觀念

數學大觀念:從數字到微積分,全面理解數學的12大觀念

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9789862623220
亞瑟•班傑明
王君儒
貓頭鷹
2017年3月07日
150.00  元
HK$ 127.5
省下 $22.5
 
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ISBN:9789862623220
  • 規格:平裝 / 416頁 / 25k大 / 16.5 x 20 cm / 普通級 / 單色印刷
  • 出版地:台灣
  • 適讀年齡:26歲~50歲


  • 自然科普 > 數學 > 概論

















    班傑明教授在本書直接讓我們探索了「數學世界本身的趣味」。──賴以威

    國中代數xy、高中三角函數sin cos到大學微積分,
    這些你曾經學過,卻好陌生的數學,
    TED演講10,000,000爆高點閱率數學翻轉教育大師,
    52個數學魔術,帶你完全了解12個重大觀念!

    ◎美國每個學生都有一本!美國數學協會(AMS)強力推薦!
    ◎《普林斯頓期刊》美國TOP300教授
    ◎暢銷書《超展開數學教室》作者賴以威教授超好評推薦序
    ◎作者三度百萬點擊率TED演講,聽眾直呼「原來數學就這樣而已啊!」
    ◎美國AMAZON 4.5顆星讀者好評!
    ◎紐約時報暢銷書

    我們先跟作者一起玩一個數學小魔術……
    首先,請從1到10之間挑一個數字(但如果你想,也可以挑更大的數字)。然後,將這個數字乘以2。乘好了嗎?我們再將乘好的這個數字加上10,這時候你會擁有一個截然不同的數字,再打亂一次,我們將這個新數字除以2。最後,我們把這個計算結果減掉一開頭你所挑的數字…我相信,你現在所想的數字一定是5,對吧?
    有沒有覺得很驚奇?
    你一定很好奇這個魔術背後的秘密是什麼?正是代數!

    橫跨國中到大學,十二個數學重要單元
    以「數學中玩出魔術」知名的美國數學教授亞瑟•班傑明,這次將不只是玩耍數學魔術,他要你完全弄懂數學到底在搞什麼。本書涵蓋了以下從國中到大學的所有重要數學章節:
    1.????數字的意義
    2.????代數的變換
    3.????特別數字「9」
    4.????排列組合
    5.????費氏數列
    6.????數學證明法
    7.????幾何的推導
    8.????Π
    9.????三角函數
    10.????根號負一「i」和「e」
    11.????微積分
    12.????無窮級數

    由淺入深,從基礎的數字意義、代數的出現,到使用數字做平面運算的幾何和三角函數,甚至是高等數學思考的無窮級數和微積分的概念等,全部共十二個我們中學到大學一年級整整七年所學到的重要數學觀念,以簡單易懂的方式講解,搭配五十二個數學小魔術,並適時引入正規的公式或代數運算法,使你瞭解與實際操作某定理之特殊性質,像巴斯卡定理與費氏數列、黃金比例之間的微妙關係,讓你重新全面理解埋藏在這些數學中的大觀念!

    美國數學鬼才教你看到數學規律,求解,更理解!
    作者被譽為美國數學鬼才,也被票選為美國最佳三百位教授,他曾上過三次TED演講,每一次演講都讓所有的聽眾折服於數學的神奇當中,第一個演講甚至達到六百萬個點擊率。本書為作者的最新作品,將不只教你如何求解得到正確答案,更是教你如何看透數學的規律,全面理解數學的x 與y。

    專業推薦(按照姓氏筆畫序):
    ◎李信昌�「昌爸工作坊」站長
    班傑明站在普羅大眾的立場,精挑細選出兼具趣味與生活的例子,活化了書中每一個章節要討論的數學主題。原本不易瞭解的數學觀念,總是可以展現其美妙迷人的規律與內涵,讓人想一窺堂奧,這是一本吸引讀者重複細細品嘗的好書。

    ◎林壽福�教育部國教署中央團諮詢教師、台北市興雅國中退休教師
    每個數學概念透由作者的智慧和巧思演繹後,具有畫面和故事性,不僅平易近人,高潮迭起,且不失深刻。的確,本書每一章節都可以設計成令學生喜愛的魔術,非常值得推薦給廣大的中學生和教師們參考!

    ◎洪萬生�台灣師大數學系退休教授
    我們閱讀本書,除了欣賞他的這些個人風格之外,還可以從容地理解他在熟悉的數學主題上,帶給我們意想不到的驚喜!

    ◎施信源�龍埔國小國際教育中心主任、全球翻轉教學推廣亞洲區輔導教師
    翻轉數學課堂的經驗中,對於數學的拆解、重組、觀察與變化是非常重要的思考探索。本書是身為翻轉教師所必備的優質教材,也是誘發孩子「Buy In」數學課最佳的起點。

    ◎賴以威�師大電機系助理教授 數感實驗室共同創辦人
    有一種符合本書主題的二分法:討厭數學的人跟喜歡數學的人。
    前者埋怨
    「數學跟現實脫節。」
    後者部分同意這話,他們會說
    「數學是獨立於現實世界的另一個世界。」
    請帶點魔幻的色彩來想像以下的畫面:你拿起筆在紙上算數學,簡單的1+1或微分方程都可以。然後奇妙的事發生了,你的手穿過紙張,整個人往紙裡墜,你進入了數學的另一個世界。
    不需要畫五芒星的魔法陣(我忍住不跟你聊裡面的黃金比例),不需要任何繁瑣的祭祀儀式,只要一張紙、一支筆跟任何一道數學式子,你就能自由進出數學的世界。

    國際好評

    「這本書對我的學生來說會是神奇魔術!他們學的數學越多,就會越頻繁地回頭翻閱本書,每一次的再訪都能有更深的認知並發現新的領域。 」
    —— 魯斯克(Richard Rusczyk ),「解題的藝術」網站發起人,美國數學競賽主任。

    「在本書中,班傑明成功達成了看似完全不可能的戲法,高等數學在這裡如此自然流露又充滿魅力,讓人不禁懷疑當初在數學課上怎麼會覺得無聊又困惑。」
    —— 羅森豪斯(Jason Rosenhouse ),詹姆斯麥迪遜大學數學教授,著有《 The Monty Hall Problem 》

    「這本書是數學的一陣旋風,從算術和代數一路吹到微積分和無窮大,尤其是9這個數字。」
    —— 塔爾曼(Laura Taalman ),詹姆斯麥迪遜大學數學與統計學院教授






    1.????數字的意義
    2.????代數的變換
    3.????特別數字「9」
    4.????排列組合
    5.????費氏數列
    6.????數學證明法
    7.????幾何的推導
    8.????π
    9.????三角函數
    10.????根號負一「i」和「e」
    11.????微積分
    12.????無窮級數






    師大電機系助理教授 數感實驗室共同創辦人 賴以威

    有一種符合本書主題的二分法:討厭數學的人跟喜歡數學的人。
    前者埋怨
    「數學跟現實脫節。」
    後者部分同意這話,他們會說
    「數學是獨立於現實世界的另一個世界。」
    請帶點魔幻的色彩來想像以下的畫面:你拿起筆在紙上算數學,簡單的1+1或微分方程都可以。然後奇妙的事發生了,你的手穿過紙張,整個人往紙裡墜,你進入了數學的另一個世界。
    不需要畫五芒星的魔法陣(我忍住不跟你聊裡面的黃金比例),不需要任何繁瑣的祭祀儀式,只要一張紙、一支筆跟任何一道數學式子,你就能自由進出數學的世界。

    §
    受到工程背景的影響,我在分享數學有趣之處時,常常著眼在數學世界與現實世界的連結。現實世界有500元鈔票, 500大卡的手搖飲料,還有台灣搖滾天王伍佰。但從數學世界裡看,他們都是變成了純粹的數字500。我是個虔誠的信徒,常去廟裡拜拜擲筊,一方面在現實世界裡乞求天神保佑,一方面在數學世界裡和機率之神祈禱。兩個世界之間往返,你很容易看到許多有趣的現象,複雜的問題脫下外皮,被解構成一條條式子;全然不相關的幾件事,在數學世界裡都是一個模樣,這樣的視角媲美從《巡者系列》的幽界裡窺視人界(註)。

    班傑明教授在本書中提供了另一個角度,他直接讓我們探索「數學世界本身的趣味」,不需要來來回回,光是只有數字與幾何圖形的數學世界就夠我們玩得不亦樂乎,讚嘆連連了。請繼續想像,你在數學世界跟團旅行,來到著名景點歐拉公式
    e^iπ+1=0
    導遊難掩興奮之情地說
    「e、i、π、0、1,五個重要又看似毫無關係的數字,竟然被巧妙地整合在一起!」
    覺得不夠神奇嗎?可能是符號帶來的隔閡,讓我們換成近似的數字
    ?(2.72)?^(√(-1)×3.14)+1?0
    這樣或許更有感覺吧。無窮無盡的數字大海中找出來的兩個無理數字,搭配根號-1這個被國中小數學課本禁止的虛數,組合起來再+1竟然很趨近於0。這是數學世界的大峽谷,展現數學大自然的神功鬼斧。
    讚嘆完大峽谷之美,我們都會想去告示牌或上網查查它的成因。理當來說你也會想了解歐拉公式背後的原因。導遊風趣地講解,不時穿插其他有趣的知識。你注意到他胸口的名牌:亞瑟·班傑民。

    §
    書名《數學魔術之道》把兩個我很喜歡的名詞放在一起。小時候我曾摸著牆壁,百思不得其解為什麼有人可以穿越比這道牆厚上好幾倍的萬里長城,把人身體切一半又復原。雖然當下沒聯想到,但多年後回想,這樣的困擾其實跟面對一道數學難題很相似:盯著一個奇形怪狀的幾何圖形,我覺得不可能算出它的面積,但同時我又清楚知道,下一頁翻過來就是印好的解答。

    魔術是很精密的機制,能欺騙人類的直覺。數學同樣很精密,它的本意是補充人類的直覺(有些人可能會說「是為了打擊人的信心」,但我想那是「數學考試」,而不是「數學」本身),讓我們能精準地達成某些事情,簡化某些過程。了解到這點後,你會發現數學跟魔術之間有驚人的相似之處,換個角度,數學就能從惱人的題目變成有趣的魔術。國內也有幾位優秀的數學魔術師:吳如皓、莊惟棟、林壽福幾位老師,都擅長結合數學與魔術,有機會一定要看看他們的表演。班傑明教授更是箇中翹楚,他曾在TED上表演過幾個數學魔術,這回他將數學魔術的訣竅放在書裡。魔術很有趣,背後的原理更有價值。

    比方說,有一兩個魔術是速算,比起掌握速算技巧,更重要的是了解「為什麼這些技巧有用」,進而思考「該怎麼設計這樣的技巧」。我和我的團隊老師常舉辦給國小學生的「數學實驗課」,裡面恰好也有介紹速算。我們讓小朋友比賽,一些人心算,一些人按計算機,看誰算得快。小朋友覺得很無聊,比賽彷彿沒不需要開始就知道勝負。
    2+2+2+2+2
    1+2+3+7+8+9
    題目一打出來,心算的小朋友開心得不得了,一秒內就大喊出答案,按計算機的小朋友很鬱悶,他們也知道答案,偏偏被要求得按下每個數字、符號,怎麼都跟不上心算的速度。
    ????一樣的數字相加,可以用乘法
    ????找到和為10的兩組數字
    這是深植在每個人心中的速算訣竅,或是用另一個詞來說——規律。比起一個個數字相加,運用題目裡數字的這兩個規律,就能大幅縮短計算時間。數學的本質是發掘規律,化繁為簡。班傑明教授舉了一個很精彩的例子,只要告訴他一個日期(年月日),他就能立刻回答你是星期幾。這只是我們題目的進階再進階版,背後的原理都是一樣,找出規律。

    能洞察規律的人,便能得到他人無法得到的資訊,以更快的方式得到資訊,或是,成為一位數學魔術師。這才是數學的真正意義。

    註:《巡者系列》是俄國經典魔幻小說,幽界是指超凡人才能進入的,與現實世界平行並存的空間。





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