前言



PartⅠ數學是??

01 數學是什麼？

02 抽象化

03 原理

04 過程

05 一般化???????

06 內在動機 vs.外在動機

07 公設化

08 數學是??

?

PartⅡ範疇論：研究數學的數學

09 什麼是範疇論？

10 情境

11 關係

12 結構

13 相同性

14 泛性質

15 範疇論是??

致謝

前言



數學迷思

　　

　　數學就是在講數字。

　　

　　你可能會認為電鍋就是拿來煮飯的。雖然沒錯，但電鍋其實也可以有其他用途：像是做凝乳油、煮蔬菜、蒸雞。同樣的，數學除了和數字有關，也和許多其他事物有關。

　　

　　數學是要找到正確的答案。

　　

　　烹飪是用不同方法調理食材，做出美味的食物。有時作法比食材更重要，像是凝乳油的食譜只有一種食材，而整份食譜的關鍵其實就在作法。數學則是將想法集結起來，創造出更有趣新點子的方法。有時候，方法比「素材」更重要。

　　

　　在數學中，不是對就是錯。

　　

　　烹飪的時候可能會出錯──你的卡士達會凝結、舒芙蕾（souffle）表面會塌掉、雞肉可能沒煮熟，讓吃到的人都食物中毒。就算你沒有導致別人食物中毒，還是會發現有些食物就是比其他食物來得好吃。而且有時煮菜煮一煮看似「出錯」的時候，竟也會意外創造出另一道美味的食譜。像是塌掉的巧克力舒芙蕾，吃起來是又濕軟又美味的黑巧克力。如果你在做餅乾的時候忘了將巧克力融化，做出來的成品就會變成巧克力豆餅乾。數學的道理也一樣。在學校，如果你寫10+4=2，老師會說你的答案錯了，但其實在某些情況下，這個答案是正確的。例如在討論時間的時候：十點再加四個小時，的確就是兩點。數學的世界比一般人說的還要來得奇怪和奧妙……

　　

　　你是數學家？那你一定很聰明。

　　

　　雖然我也喜歡讓別人以為我很聰明，但其實這個普遍的迷思只是反映了一般人都覺得數學很難。很多人都不知道，數學的目的其實是要將事情變得更簡單。而問題就在這裡：很多人會以為，如果要把事情變得更簡單，那代表這件事一定很難。數學本身很難，但數學能讓困難的事情變得簡單。所以如果數學本身就很難，那數學也可以讓數學變得簡單。

　　

　　很多人都很害怕數學，或被數學難倒，或兩者皆是。還有些人在學校學數學的時候，一點興趣也沒有。這我可以理解，因為我以前就是因為學校的體育課，搞得一點都不喜歡運動，而且一直到現在還是如此。我在學校的時候，運動表現超級差，差到連我的老師都很驚訝這世上竟然有人的運動細胞可以差成這樣。但我現在的體能還算不錯，曾經參加過紐約馬拉松賽。至少我現在已經開始喜歡運動，不過還是很怕各種團體類型的運動。

　　

　　研究數學到底要研究什麼？你又不可能發現新的數字。

　　

　　我在本書將會回答這個問題。如果要在雞尾酒派對中快速回答這個問題，但答案聽起來不陳腔濫調、不占用別人太多時間，或嚇到身旁聚集的賓客，那真的很難。沒錯，想要在一個優雅的派對上嚇到其他人，其中一種方法就是大聊數學。

　　

　　是的，你不可能發現新的數字。那我們在數學這個領域還可以發現什麼新鮮事？要解釋這個「新數學」代表什麼，首先我必須先澄清許多人對數學的誤解。其實，數學不僅僅是和數字有關的一門知識，我接下來要介紹的數學分支根本和數字無關。這個分支是範疇論（categorytheory），你也可以把它想成是研究數學的數學。這個理論跟關係、情境、過程、原理、結構、蛋糕、卡士達都有關。

　　

　　沒錯，連跟卡士達都有關係。由於數學就是在做類推的一門學問，因此我會用各種例子做類推，來說明數學的運作。這些例子包括卡士達、蛋糕、派、糕點、甜甜圈、貝果、美乃滋、優格、千層麵和壽司。

　　

　　不管你覺得數學是什麼，都先暫時拋開吧。接下來我要談的將會跟你想的很不一樣。