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大域微分幾何(上):Riemannn幾何基礎

大域微分幾何(上):Riemannn幾何基礎

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9789863503842
黃武雄
國立臺灣大學出版中心
2020年2月03日
200.00  元
HK$ 180
省下 $20
 
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ISBN:9789863503842
  • 叢書系列:教科書
  • 規格:精裝 / 320頁 / 19 x 26 x 2.9 cm / 普通級 / 單色印刷 / 初版
  • 出版地:台灣
    教科書


  • 自然科普 > 數學 > 微積分











      《大域微分幾何》全書共三卷。內容主要對象是彎曲的空間,上卷大體是作者多次在臺大數學研究所授課的講稿,以此為基礎,展開中、下?卷,進入大域幾何研究的專業。



      這套書三卷分別是「Riemann幾何基礎」、「活動標架法」(moving frames)及「幾何變分學」,涵蓋九大篇,共三十章,並於上卷與下卷加入〈前篇〉及〈衍篇〉各三章,以作為微分幾何「基礎入門」與「延伸進階學習」之用。



      上卷從「前篇」A、B、C三章的「大域曲面論」、「活動標架法」及「可微流形」等基礎背景開始談起,引入黎曼幾何。沿依1850年代Riemann探討高維內在幾何的思路,描述「彎曲空間」。尤其著重幾何直觀,並藉由「測地線變分」初步探究彎曲空間大域的幾何性質。



    本書特色



      1. 全書以深入淺出的解說方式,藉由直觀,逐步引入艱深的幾何?究。

      2. 問題中心論:內容的鋪陳,經常圍繞著自然的提問。

      3. 採二維計算方式呈現數學式子的推演,使學習者一目瞭然,容易掌握運算過程。

      4. 適合「微分幾何學」進階研究,及天文物理、生化、土木領域之延伸應用。



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    大域微分幾何引言

    校訂序

    中文譯名說明

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    上卷 Riemann幾何基礎



    前篇 基礎背景

    章A 大域曲面論概要

    章B 活動標架法初步及其應用

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    篇一 Riemann幾何的背景

    第1章 切向量與Lie微分

    第2章 Frobenius可積分定理

    第3章 Riemann曲率的誕生

    第4章 曲面論基本定理

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    篇二 測地線的變分

    第5章 向量場的共變微分

    第6章 Connection, metric與曲率

    第7章 測地線的變分與Synge定理

    第8章 變分學中的Direct Method

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    篇三 Jacobi場與大域幾何

    第9章 Exponential map與最短測地線

    第10章 Jacobi場

    第11章 測地線的大域行為

    第12章 Bonnet-Myers定理與Hadamard定理

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    全書參考文獻

    全書索引

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    大域微分幾何引言



    細談整部書的脈絡(節錄)




      像這樣多達八百多頁,分上、中、下三卷的專業數學書,很難想像有人會埋頭讀完整部書。寫這篇引言,是為了鋪陳全書的脈絡,讓讀者看到一連串自然而有趣的提問,像一幕幕風景一樣,沿路開展。是這些自然的風景,帶進來嚴謹的數學理論。讀者閱讀這部書時,不妨隨時來回翻閱這篇引言。若心中存著這條脈絡,讀起書來或許會更有動力,也不容易在這部大書的理論中迷失方向。



      Sect. 1 較早的脈絡



      1.1 白話



      寫這部書時,我力求脈絡清晰,直接切入問題,減少「不那麼必要」的形式語言。與經驗連結,是引入抽象概念的前提。雖然這部書是專業研究的書籍,我仍然盡量把它寫得白話。



      什麼是白話?白話就是鋪陳要自然:以自然的提問作為背景,一層層引入數學概念,使數學概念與人的感覺聯繫起來,讓人發生興趣,一步步深入數學未知的、複雜的抽象世界。



      以「上卷」的脈絡,作為例子,來說明我力求白話的意義。微分幾何要處理的主要對象是「彎曲的空間」。空間如何彎曲?1860年代,Riemann的重要貢獻,就是引入Riemann曲率張量,來描述空間的彎曲。因此後人把彎曲的空間,稱為Riemann空間,或進一步叫Riemann流形。



      一般幾何書籍都直接定義Riemann曲率張量[Ch.3(26)式;Ch.6(19)式]。但我們寧可回溯Riemann最早的思路:從詢問「什麼時候空間是平直?」



      而發現:「某個張量是否等於0?」為空間是否平直的關鍵。其中某個張量,就是後來的所謂Riemann曲率張量,以下簡稱Riemann張量。



      「什麼時候空間是平直?」必須借助坐標來描述。換句話說,Riemann空間的坐標,什麼時候可以換成平直的新坐標?這牽涉到「新坐標該滿足的微分方程組,可否積分?」的問題。因此,我們必須先討論可積分條件。為了處理這樣的問題,我們證明了更普遍的Frobenius可積分定理——有時普遍反而變得自然。見Ch.2 sec2。



      根據Frobenius可積分定理,便不難找到用來描述曲率的Riemann張量。一旦有了Riemann曲率張量,測地線的二階變分[Ch.7(21)式,有時稱為第二變分式],就容易看出意義,因為計算出來的那一大堆式子,整併起來,原來就是Riemann曲率張量。



      為了考慮二階變分等於$0$的情況(這相當於在初等微積分中找inflection point:亦即找x,使f(x)=0),所謂的Jacobi場出現了。



      如果測地線上,首度出現非零的Jacobi場[Ch.10(02)式],我們說兩端點互為共軛(conjugate)。等到熟悉測地線與Jacobi場的遠方行為[Ch.9, 10, 11]之後,例如知道:「兩共軛點之間的測地線,若往外延長一點,便不再穩定(stable),當然也就不是最短路徑」,我們便能夠利用測地線與Jacobi場,去了解Riemann空間(或稱Riemann流形)的整體樣貌,切入大域微分幾何的內核。譬如,我們可以控制正曲率流形的直徑[Bonnet-Myer定理,Ch.12],也可以掌握負曲率空間的形狀[Hadamard定理,Ch.12]。

      

      所有的概念,像Riemann張量、Frobenius可積分條件、Jacobi?場、共軛點、cut point、…都不是空穴來風,而是為了瞭解彎曲空間的形狀,沿著一層層問題的思路,而發展出來的重要概念。這一切都很自然,而且整條脈絡清晰易明,一氣呵成。如此「上卷」忽忽結束。這就是白話的意思。



      當然,發展這條脈絡的路邊,有很多花草,像共變微分、平行線、Riemann尺度、指數映照、凸鄰域、…,都必須一一引介。這整條脈絡,加上周邊的花草,就是「上卷」的主要內容。



      1.2 零四講稿



      這部書(以下有時稱本書)有:



      上卷 前篇A、B、C三章

      篇一到篇三,含Ch.1--Ch.12

      中卷 篇四到篇六,含Ch.13}--Ch.21

      下卷 篇七到篇九,含Ch.22--Ch.30

      衍篇 三文}



      它最早的形式是1998-2004年春,我多次在台大數學研究所,開幾何課的講稿——以下稱為「零四講稿」。



      零四講稿的內容是:現今前篇的章C、上卷三篇、及中卷到篇五。前篇的章C簡述可微流形。有了可微流形,加上Riemann尺度(metric),才成為Riemann流形。



      可微流形最根本的出發點是維數(dimension)。從日常的生活經驗,一維、二維、三維、…等維數的概念,似乎明白易辨。但1890年Peano曲線的出現,使數學家對維數這樣司空見慣的概念,開始感到不安。在前篇章~
    ef{chc},開始定義可微流形之前,我們也證明了維數的拓撲不變性。



      很多數學者都相信,維數在拓撲變換之下不變,但一生從來沒讀過或做過證明。這部書主張人進入幾何專業之前,總要讀過一遍維數拓撲不變性的證明(當然,能自己證明出來更好。這是流形概念的基礎,它的證明是nontrivial。對數學專業者來說,nontrivial是數學品味的判準之一。



      一旦確認維數的拓撲不變性,並引入坐標鄰域疊合延拓的概念,可微流形的簡介也就結束。我們跳過可微流形最有趣也最nontrivial的內容:Poincare-de Rham-Hodge的理論,這是令人遺憾的事。但de Rham的理論龐大而深刻,篇幅相當於一本書。我們不得不略過,為了早點進入本書的主題「彎曲的空間」。就這樣,本書談過前篇的章C之後,我們依剛剛1.1所說,一路討論完上卷。



      零四講稿的後面兩篇[即中卷篇四、篇五],在2004春的課堂中,並沒來得及討論,因為講過前篇章C及上卷到Ch.12、一個學期已匆匆過去。



      1.3 大域與局部



      大域微分幾何,經常在考慮局部與大域之間的辯證問題。曲率是由局部幾何(而且是infinitesimally local)決定的,那麼局部的曲率如何影響空間大域的形狀?前述1.1提到的Bonnet-Myer與Hadamard定理,便是這樣的兩個例子。



      關於這層辯證關係,古典的Gauss-Bonnet定理,是最早出現的重要成就:「在封閉的曲面上,高斯曲率的總積分決定曲面的拓撲!」[前篇章A§8}]。



      Gauss-Bonnet定理的證明,主要的觸媒是Hopf-Poincare的標數定理。後者把整體拓撲,歸結到向量場在一個奇異點附近的標數(index),這使得大域與局部的幾何聯繫起來。Hopf-Poincare的標數定理意義深刻,卻不難理解,我們提早在前篇章A,便加以詳述,雖然那裡所考慮的,還只是二維曲面。這個利用標數的精神,可以延伸到後來高維的情況,完成高維Gauss-Bonnet定理的證明[中卷篇六,Ch.19}],揭開最早局部與大域之間的辯證關係。



      其實這層辯證關係(亦即聯繫曲率與拓撲),可以說是大域微分幾何的主要課題。Gauss-Bonnet之後,我們看到Synge-Frankel類型的大域定理。



      在上卷中,我們注意到一個有趣又重要的事實:「曲率越大,測地線也不穩定。」[Ch.7§3}]。這個事實可以從測地線的二階變分得到。利用它,我們容易得到Synge與Frankel等幾個定理的證明[Ch.7]。



      Synge定理說的是:封閉的Riemann流形,若為偶數維、可定向而且正曲率,則必為單連通。在這裡「正曲率」如何影響流形的整體樣貌?這又是局部與大域辯證關係的另一個好例子。



      我們注意到透過測地線的二階變分,局部性的曲率起了作用,影響到測地線是否穩定的大域行為,亦即:封閉測地線在正曲率流形中的不穩定性,使得任何封閉測地線必須越縮越小,終至變成一個單點,所以流形必然是單連通。



      這類利用測地線的變分,是切入大域幾何的第一道重要方法。



      事實上,前言1.1談到Bonnet-Myer與Hadamard定理,也都是這方法的例子。



      這方法的延伸,我們稱為「幾何變分學」。幾何變分學(calculus of variations in geometry)是這部書下卷的主題。在上卷中我們利用測地線的變分;測地線是一維的。到了下卷,我們會提升幾何變分學的層次,把一維的測地線,提高成二維以上的最小曲面,或常均曲率的曲面,而得到更多、更複雜、更深刻的大域定理。



    校訂序



    黃振芳(中研院數學所退休研究員)

    鄭日新(中研院數學所研究員)




      這是一本構思五十年的書。半世紀前,黃教授剛返國到台大任教,當時科學中文化的口號滿天飛,但什麼是科學中文化呢?只是把外文科學書翻譯成中文書嗎?如果這樣,那大陸做得不錯。市面上簡體中文科學書還真不少,也有很多十分專門的書,但這並非黃教授此書目的。黃教授半世紀所想寫的書,是白話數學,數學還有文言白話之分?沒錯,不過這是全世界面臨的問題,楊振寧說過:「有那麼兩種數學書:第一種是你看了第一頁就不想看了,第二種是你看了第一句就不想看了。」這是因為現在數學書,往往從頭到尾都是定義、定理,推論式的、純粹抽象式的演繹,原本生動活潑的背景淹沒在形式或邏輯的海洋之中,使人摸不到頭腦。如果要避免如此,可讀胡適的八不主義「寫文章要言之有物」,「不用典」。



      談微分幾何,要言之有物,就要了解微分幾何是三維歐氏空間中曲線和曲面的推廣,要把曲線和曲面確實弄清楚,才能談其他,這是根本。所以前篇談大域曲面論,先把基礎打好了,接著往上推廣到黎曼幾何,自然言之有物。黃教授早期出版過白話數學《初等微分幾何講稿》:第一卷「曲線篇,曲面篇」。我們曾拜讀過部分內容,尤其談Gauss-Bonnet定理,Hopf-Poincare標數定理及組合觀點看曲率的章節,令人印象深刻,比一般初等微分幾何(不管是英文或中文)書都要精采,也提升了讀者對幾何與拓樸關聯性的第一步認知。這次黃教授大作,內容涵蓋甚廣,除了基本大域幾何語言的介紹外,並論及活動標架法,幾何變分學,之後運用於常均曲率方程的研究。在長期修訂過程中,我們儘量要求證明的嚴格性,又不失黃教授生動活潑的觀念解讀,希望這本用本國文字接地氣的鉅著,在未來能造成傳統,在本地產生像俄羅斯Grigori Perelman(解決Poincare猜想)或巴西Fernando Marques(解決Willmore猜想)那一等級的數學家。最後祝這本新書能暢銷於數學學術界的中文書市場。

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    其 他 著 作
    1. 大域微分幾何(下):幾何變分學
    2. 大域微分幾何(中):活動標架法
    3. 小樹的冬天(精裝)
    4. Fuleco!世界盃足球戰國誌:就靠這一本!不當世足候鳥,升格真正球迷!
    5. 學校在窗外(教改二十周年紀念版)
    6. 童年與解放衍本(教改二十周年紀念版)
    7. 走路:給我一條千里步道
    8. 那裡有條界線(國際版)
    9. 那裡有條界線(含CD)
    10. 台灣教育的重建(增訂版)