香港二樓書店 > 大域微分幾何（上）：Riemannn幾何基礎

大域微分幾何引言

細談整部書的脈絡（節錄）

　　像這樣多達八百多頁，分上、中、下三卷的專業數學書，很難想像有人會埋頭讀完整部書。寫這篇引言，是為了鋪陳全書的脈絡，讓讀者看到一連串自然而有趣的提問，像一幕幕風景一樣，沿路開展。是這些自然的風景，帶進來嚴謹的數學理論。讀者閱讀這部書時，不妨隨時來回翻閱這篇引言。若心中存著這條脈絡，讀起書來或許會更有動力，也不容易在這部大書的理論中迷失方向。

　　Sect. 1 較早的脈絡

　　1.1 白話

　　寫這部書時，我力求脈絡清晰，直接切入問題，減少「不那麼必要」的形式語言。與經驗連結，是引入抽象概念的前提。雖然這部書是專業研究的書籍，我仍然盡量把它寫得白話。

　　什麼是白話？白話就是鋪陳要自然：以自然的提問作為背景，一層層引入數學概念，使數學概念與人的感覺聯繫起來，讓人發生興趣，一步步深入數學未知的、複雜的抽象世界。

　　以「上卷」的脈絡，作為例子，來說明我力求白話的意義。微分幾何要處理的主要對象是「彎曲的空間」。空間如何彎曲？1860年代，Riemann的重要貢獻，就是引入Riemann曲率張量，來描述空間的彎曲。因此後人把彎曲的空間，稱為Riemann空間，或進一步叫Riemann流形。

　　一般幾何書籍都直接定義Riemann曲率張量[Ch.3(26)式；Ch.6(19)式]。但我們寧可回溯Riemann最早的思路：從詢問「什麼時候空間是平直？」

　　而發現：「某個張量是否等於0？」為空間是否平直的關鍵。其中某個張量，就是後來的所謂Riemann曲率張量，以下簡稱Riemann張量。

　　「什麼時候空間是平直？」必須借助坐標來描述。換句話說，Riemann空間的坐標，什麼時候可以換成平直的新坐標？這牽涉到「新坐標該滿足的微分方程組，可否積分？」的問題。因此，我們必須先討論可積分條件。為了處理這樣的問題，我們證明了更普遍的Frobenius可積分定理——有時普遍反而變得自然。見Ch.2 sec2。

　　根據Frobenius可積分定理，便不難找到用來描述曲率的Riemann張量。一旦有了Riemann曲率張量，測地線的二階變分[Ch.7(21)式，有時稱為第二變分式]，就容易看出意義，因為計算出來的那一大堆式子，整併起來，原來就是Riemann曲率張量。

　　為了考慮二階變分等於＄0＄的情況（這相當於在初等微積分中找inflection point：亦即找x，使f(x)=0），所謂的Jacobi場出現了。

　　如果測地線上，首度出現非零的Jacobi場[Ch.10(02)式]，我們說兩端點互為共軛(conjugate)。等到熟悉測地線與Jacobi場的遠方行為[Ch.9, 10, 11]之後，例如知道：「兩共軛點之間的測地線，若往外延長一點，便不再穩定(stable)，當然也就不是最短路徑」，我們便能夠利用測地線與Jacobi場，去了解Riemann空間（或稱Riemann流形）的整體樣貌，切入大域微分幾何的內核。譬如，我們可以控制正曲率流形的直徑[Bonnet-Myer定理，Ch.12]，也可以掌握負曲率空間的形狀[Hadamard定理，Ch.12]。

　　

　　所有的概念，像Riemann張量、Frobenius可積分條件、Jacobi?場、共軛點、cut point、…都不是空穴來風，而是為了瞭解彎曲空間的形狀，沿著一層層問題的思路，而發展出來的重要概念。這一切都很自然，而且整條脈絡清晰易明，一氣呵成。如此「上卷」忽忽結束。這就是白話的意思。

　　當然，發展這條脈絡的路邊，有很多花草，像共變微分、平行線、Riemann尺度、指數映照、凸鄰域、…，都必須一一引介。這整條脈絡，加上周邊的花草，就是「上卷」的主要內容。

　　1.2 零四講稿

　　這部書（以下有時稱本書）有：

　　上卷　前篇A、B、C三章

　　篇一到篇三，含Ch.1--Ch.12

　　中卷　篇四到篇六，含Ch.13}--Ch.21

　　下卷　篇七到篇九，含Ch.22--Ch.30

　　衍篇　三文}

　　它最早的形式是1998-2004年春，我多次在台大數學研究所，開幾何課的講稿——以下稱為「零四講稿」。

　　零四講稿的內容是：現今前篇的章C、上卷三篇、及中卷到篇五。前篇的章C簡述可微流形。有了可微流形，加上Riemann尺度(metric)，才成為Riemann流形。

　　可微流形最根本的出發點是維數(dimension)。從日常的生活經驗，一維、二維、三維、…等維數的概念，似乎明白易辨。但1890年Peano曲線的出現，使數學家對維數這樣司空見慣的概念，開始感到不安。在前篇章~
ef{chc}，開始定義可微流形之前，我們也證明了維數的拓撲不變性。

　　很多數學者都相信，維數在拓撲變換之下不變，但一生從來沒讀過或做過證明。這部書主張人進入幾何專業之前，總要讀過一遍維數拓撲不變性的證明（當然，能自己證明出來更好。這是流形概念的基礎，它的證明是nontrivial。對數學專業者來說，nontrivial是數學品味的判準之一。

　　一旦確認維數的拓撲不變性，並引入坐標鄰域疊合延拓的概念，可微流形的簡介也就結束。我們跳過可微流形最有趣也最nontrivial的內容：Poincare-de Rham-Hodge的理論，這是令人遺憾的事。但de Rham的理論龐大而深刻，篇幅相當於一本書。我們不得不略過，為了早點進入本書的主題「彎曲的空間」。就這樣，本書談過前篇的章C之後，我們依剛剛1.1所說，一路討論完上卷。

　　零四講稿的後面兩篇[即中卷篇四、篇五]，在2004春的課堂中，並沒來得及討論，因為講過前篇章C及上卷到Ch.12、一個學期已匆匆過去。

　　1.3 大域與局部

　　大域微分幾何，經常在考慮局部與大域之間的辯證問題。曲率是由局部幾何（而且是infinitesimally local）決定的，那麼局部的曲率如何影響空間大域的形狀？前述1.1提到的Bonnet-Myer與Hadamard定理，便是這樣的兩個例子。

　　關於這層辯證關係，古典的Gauss-Bonnet定理，是最早出現的重要成就：「在封閉的曲面上，高斯曲率的總積分決定曲面的拓撲！」[前篇章A§8}]。

　　Gauss-Bonnet定理的證明，主要的觸媒是Hopf-Poincare的標數定理。後者把整體拓撲，歸結到向量場在一個奇異點附近的標數(index)，這使得大域與局部的幾何聯繫起來。Hopf-Poincare的標數定理意義深刻，卻不難理解，我們提早在前篇章A，便加以詳述，雖然那裡所考慮的，還只是二維曲面。這個利用標數的精神，可以延伸到後來高維的情況，完成高維Gauss-Bonnet定理的證明[中卷篇六，Ch.19}]，揭開最早局部與大域之間的辯證關係。

　　其實這層辯證關係（亦即聯繫曲率與拓撲），可以說是大域微分幾何的主要課題。Gauss-Bonnet之後，我們看到Synge-Frankel類型的大域定理。

　　在上卷中，我們注意到一個有趣又重要的事實：「曲率越大，測地線也不穩定。」[Ch.7§3}]。這個事實可以從測地線的二階變分得到。利用它，我們容易得到Synge與Frankel等幾個定理的證明[Ch.7]。

　　Synge定理說的是：封閉的Riemann流形，若為偶數維、可定向而且正曲率，則必為單連通。在這裡「正曲率」如何影響流形的整體樣貌？這又是局部與大域辯證關係的另一個好例子。

　　我們注意到透過測地線的二階變分，局部性的曲率起了作用，影響到測地線是否穩定的大域行為，亦即：封閉測地線在正曲率流形中的不穩定性，使得任何封閉測地線必須越縮越小，終至變成一個單點，所以流形必然是單連通。

　　這類利用測地線的變分，是切入大域幾何的第一道重要方法。

　　事實上，前言1.1談到Bonnet-Myer與Hadamard定理，也都是這方法的例子。

　　這方法的延伸，我們稱為「幾何變分學」。幾何變分學(calculus of variations in geometry)是這部書下卷的主題。在上卷中我們利用測地線的變分；測地線是一維的。到了下卷，我們會提升幾何變分學的層次，把一維的測地線，提高成二維以上的最小曲面，或常均曲率的曲面，而得到更多、更複雜、更深刻的大域定理。

校訂序

黃振芳（中研院數學所退休研究員）

鄭日新（中研院數學所研究員）

　　這是一本構思五十年的書。半世紀前，黃教授剛返國到台大任教，當時科學中文化的口號滿天飛，但什麼是科學中文化呢？只是把外文科學書翻譯成中文書嗎？如果這樣，那大陸做得不錯。市面上簡體中文科學書還真不少，也有很多十分專門的書，但這並非黃教授此書目的。黃教授半世紀所想寫的書，是白話數學，數學還有文言白話之分？沒錯，不過這是全世界面臨的問題，楊振寧說過：「有那麼兩種數學書：第一種是你看了第一頁就不想看了，第二種是你看了第一句就不想看了。」這是因為現在數學書，往往從頭到尾都是定義、定理，推論式的、純粹抽象式的演繹，原本生動活潑的背景淹沒在形式或邏輯的海洋之中，使人摸不到頭腦。如果要避免如此，可讀胡適的八不主義「寫文章要言之有物」，「不用典」。

　　談微分幾何，要言之有物，就要了解微分幾何是三維歐氏空間中曲線和曲面的推廣，要把曲線和曲面確實弄清楚，才能談其他，這是根本。所以前篇談大域曲面論，先把基礎打好了，接著往上推廣到黎曼幾何，自然言之有物。黃教授早期出版過白話數學《初等微分幾何講稿》：第一卷「曲線篇，曲面篇」。我們曾拜讀過部分內容，尤其談Gauss-Bonnet定理，Hopf-Poincare標數定理及組合觀點看曲率的章節，令人印象深刻，比一般初等微分幾何（不管是英文或中文）書都要精采，也提升了讀者對幾何與拓樸關聯性的第一步認知。這次黃教授大作，內容涵蓋甚廣，除了基本大域幾何語言的介紹外，並論及活動標架法，幾何變分學，之後運用於常均曲率方程的研究。在長期修訂過程中，我們儘量要求證明的嚴格性，又不失黃教授生動活潑的觀念解讀，希望這本用本國文字接地氣的鉅著，在未來能造成傳統，在本地產生像俄羅斯Grigori Perelman（解決Poincare猜想）或巴西Fernando Marques（解決Willmore猜想）那一等級的數學家。最後祝這本新書能暢銷於數學學術界的中文書市場。

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