《向量》

一、何謂「向量」？

「純量」與「向量」有何差異？ 2

用向量來理解物體的運動 4



二、速度的向量加法運算

船隻在流動的河川上會如何前進? 6

「1＋1」不等於「2」的向量加法運算 8

船隻移動方向的變化與向量加法運算 10



三、力的向量加法運算

物體被拉扯時的移動方式 12

向量的加法運算表示移動的方向 14

當方向改變時的向量加法運算 16

作用於停在坡道的車輛上的三種力 18

重力可以用兩種分量來「分解」 20

把坡度加大的話，作用於車輛的力有何變化? 22

用三叉繩來拔河 24



四、向量的減法運算

從車上投出的球其前進方向為何？ 26

方向相反時的向量表示方法 28

互相逼近的2台車是否會相撞？ 30

2台車差一點就要撞上 32



五、向量與力學

「慣性定律」與向量 34

「拋體運動」與向量 38

「落體定律」與向量 36

「等速圓周運動」與向量 40



六、用座標來思考向量

向量也可以用數字的組合來表示 42

活用向量的分量表示法 44

運用分量表示法，加減法都會變簡單！ 46

用三個數字來表示空間向量 48



七、向量的乘法運算?內積

在物理學上「做功」的意義 50

運用向量的「內積」可以計算功！ 52

何謂在內積中出現的「三角函數」？ 54

運用分量表示法就能輕鬆算出內積 56

正交的向量內積會如何變化? 58



八、「能量守恆定律」與向量

重力在落體上所做的功 60

重力對滑行於坡面的物體所做的功 62

何謂力學上的能量守恆定律？ 64



九、向量的乘法運算?外積

何謂向量場 66

用向量來了解馬達的構造吧 68

用肢體來了解馬達的動力吧 70

從馬達的構造來了解「外積」吧 72

外積有助於了解電力與磁力 74

用向量的分量即可輕鬆算出外積 76



《圓周率》

一、首先來探究π這個數

始自3.14的圓周率π 2

運用套色來觀察隨機排列的圓周率數字 6

Coffee break 默記π數值的諧音技巧 8



二、衍生π的「圓�球」是怎樣的圖形？?

圓與球是「最美的圖形」 10

從每個方向看圓都是左右對稱 12

觀察滾動的圓與球 14

試著找出圓的中心? 16

試著找出圓的中心? 18

Coffee break 圓經無限次反轉之後所出現的神祕圖形 20



三、從圓之中發現π並挑戰至今

約西元前2000年就已發現π 22

阿基米德所想出的π之算法 24

正多邊形法能將π值算到多精確？ 26

π無法用分子分母均為整數的分數來表示 28

江戶時代的天才數學家也算過π值 30

印度數學家靈光一閃的π公式 32

Coffee break 試著實際算出圓周率 34

Coffee break 半徑加長1公尺，圓周長會增加多少？ 36



四、π與圓面積及球體積的關係

細分圓以算得面積 38

年輪蛋糕也能求出圓的面積！ 40

圓柱體�圓錐體�半球體之間的奇妙關係 42

如何計算球的體積？ 44

Coffee break 錐體體積公式為何是乘以「1/3」？ 46



五、π與球面的奧祕

如何計算球的表面積？ 48

球表面積與圓柱體側面積的奇妙關係 50

球面上的三角形內角和不是180度？ 52

圓周率π值為「2」的世界存在嗎？ 54

Coffee break 平面的地圖無法正確表現出地球的全貌 56



六、將圓、球、π應用於生活中的科學

人孔蓋為何是圓的 58

渾圓球狀水滴所隱藏的祕密 60

球狀天體與形狀扭曲的天體之間有何差異？ 62

行星軌道呈圓形模樣的成因 64

Coffee break 什麼方法能將壹圓硬幣排列得最緊密？ 66

Coffee break 什麼方法能將球體堆疊得最緊密？ 68



七、無限延續的奇妙數值π

進行無限次加法運算的「無窮級數」 70

π能夠用無窮級數來表示 72

至今仍持續計算π之小數點後的位數 74

Coffee break 最適合求婚的日子？「圓周率日」 76



《質數》

一、什麼是質數呢？

質數也可以稱為整數的「元素」…………2

1∼100的整數當中，有哪些是質數？…………………4

有什麼方法能夠只挑出質數？………………6

棲息於美國的「質數蟬」是什麼？……………8

「質數蟬」的羽化週期為什麼是質數？…10

質數之謎? 第1題??

用1∼9這9個數字能製造出質數嗎？………12

質數之謎? 第2題??

這個數是質數嗎？………13

質數之謎? 第1題? 解答………………14

質數之謎? 第2題? ?解答………………15

正確判斷質數的「威爾遜定理」………16

Coffee Break 為什麼「1」不是質數呢？…18



二、體會質數的神祕！

1089位數的神奇質數是什麼？………20

產生質數的不可思議數字………22

以質數顯現出文字………24

Coffee Break 小心乍看像質數的數字………26



三、質數能夠用數學式表示嗎？

質數有無限多個！………28

能夠列出「製造質數的公式」嗎？………30

梅森修道士猜想的質數是什麼？………32

歐拉也曾經挑戰「製造質數的公式」………34

這是1281位數的「梅森質數」！………36

現今已知最大的質數有2486萬2048位數！………38



四、質數的出現模式是什麼？

把整數排在圓上以尋找質數吧！………40

數學家烏拉姆在會議中信手寫下的塗鴉………42

塗鴉中顯露出不可思議的圖案………44

「孿生質數」和「性感質數」是什麼樣的質數？………46

「孿生質數」有無限多個嗎？………48

4以上的偶數都是2個質數的和？………50

質數之謎? 第3題??

為什麼可以確定只有一組「三胞胎質數」？………52

質數之謎? 第4題??

如何找出500以下的全部質數？………53

質數之謎? 第3題? 解答………………54

質數之謎? 第4題? 解答………………55

Coffee Break 雖然是質數，卻又不是質數！？………56



五、世紀之謎? 黎曼猜想

把自然數和質數連結在一起的歐拉………58

到某個整數為止，共有幾個質數？………60

找到了質數的個數法則！………62

數學家黎曼的猜想是什麼？………64

Coffee Break 千禧年大獎難題是哪些難題？………66



六、巨大質數與密碼

現代的密碼中運用了質數…68

用兩個質數打造「鑰匙」………70

把信用卡號碼轉化為密碼的方法………72

把密碼回復成信用卡號碼………74

Coffee Break 量子電腦使密碼失去意義………76



《無限》

一、無限是什麼？

即使是宇宙中的基本粒子數量，也遠遠不及無限 2

再怎麼巨大的數也無法表現無限 4

只用整數和分數就能填滿數線？ 6

同樣是無限，但「濃度」有差異 8

Coffee Break 線、面、立體都是由點集合而成 10



二、如何計算無限？

磚塊能往橫向挪移堆疊到什麼程度？ 12

兩棵成長速度不同的樹木，最後究竟會如何？ 14

為什麼絕對追不上嬰兒？ 16

無限地加上去卻得到有限值的加法 18

Coffee Break ∞其實不是數 20



三、無限延續的圓周率π

圓周率有無限多個位數 22

圓周率要多少個位數才夠用？ 24

試試看把圓周率可視化 26

圓周率裡面出現不可思議的數列 28

把圓切割後可做成的面積 30

Coffee Break 「∞×0」的答案是多少呢？ 32



四、無限小的威力

克卜勒把無限小運用在天文學 34

如何正確測量櫛瓜的體積？ 36

牛頓從無限小發現「微分」 38

利用微分了解速度和加速度 40

Coffee Break 無限減無限的答案是多少？ 42



五、極限的用處

相片的解析度不能無限提高 44

「極限」是為了更接近真實而採行的方法 46

測定化石年代也會用到微積分 48

設計高速公路的彎道也會用到微積分 50

Coffee Break 探討「0的除法」的「答案」 52



六、無限或是有限

光速是無限或是有限？ 54

後來如何得知光速是有限的？ 56

宇宙會無限擴展嗎？ 58

宇宙有限但沒有盡頭？ 60

宇宙是什麼「形狀」？ 62

Coffee Break 宇宙的外側有其他宇宙？ 64



七、宇宙中的無限大

黑洞的中心密度為無限大 66

如果掉進黑洞中心會怎樣？ 68

宇宙始於奇異點？ 70

解決密度無限大的理論是什麼？ 72

潘洛斯的「扭子理論」 74

Coffee Break 宇宙會無限地反覆膨脹和收縮？ 76