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大域微分幾何(下):幾何變分學

大域微分幾何(下):幾何變分學

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9789863503866
黃武雄
國立臺灣大學出版中心
2020年2月03日
203.00  元
HK$ 182.7
省下 $20.3
 
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ISBN:9789863503866
  • 叢書系列:教科書
  • 規格:精裝 / 324頁 / 19 x 26 x 3 cm / 普通級 / 單色印刷 / 初版
  • 出版地:台灣
    教科書


  • 自然科普 > 數學 > 微積分











      《大域微分幾何》全書共三卷。內容主要對象是彎曲的空間,上卷大體是作者多次在臺大數學研究所授課的講稿,以此為基礎,展開中、下?卷,進入大域幾何研究的專業。



      這套書三卷分別是「Riemann幾何基礎」、「活動標架法」(moving frames)及「幾何變分學」,涵蓋九大篇,共三十章,並於上卷與下卷加入〈前篇〉及〈衍篇〉各三章,以作為微分幾何「基礎入門」與「延伸進階學習」之用。



      下卷「幾何變分學」圍繞著均曲率的幾何,討論二階變分、Plateau與Berstein問題、毛細曲面、穩定性與凸性問題、值譜分析、Jacobi場……等幾何分析學關注的焦點;深入當代大域微分幾何一些關鍵性的研究。



      最後在〈衍篇〉的延伸閱讀中,加入了王藹農教授的〈CMC曲面及其應用〉、王慕道教授的〈從一個方程式談起〉與林俊吉教授〈曲線與幾何分析〉等三篇survey的文章,提供幾何領域正在發展的某些課題。



    本書特色



      1. 全書以深入淺出的解說方式,藉由直觀,逐步引入艱深的幾何?究。

      2. 問題中心論:內容的鋪陳,經常圍繞著自然的提問。

      3. 採二維計算方式呈現數學式子的推演,使學習者一目瞭然,容易掌握運算過程。

      4. 適合「微分幾何學」進階研究,及天文物理、生化、土木領域之延伸應用。



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    下卷前言

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    下卷 幾何變分法

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    篇七 均曲率幾何的基礎

    第22章 流形上的變分

    第23章 最小曲面的穩定性

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    篇八 Plateau與Bernstein問題

    第24章 Plateau問題

    第25章 Bernstein問題

    第26章 Plateau與Bernstein問題

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    篇九 均曲率方程

    第27章 毛細方程與均曲率

    第28章 Hopf猜想與Alexandrov對稱法

    第29章 Convexity與大凹陷定理

    第30章 cmc上的Jacobi場與Morse Index定理

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    衍篇 延伸閱讀

    CMC曲面及其應用(王藹農)

    從一個方程式談起(王慕道)

    曲線與幾何分析(林俊吉)

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    全書參考文獻

    全書索引

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    下卷前言(摘錄)



      下卷的主題是幾何變分學。含三篇



      篇七 均曲率幾何的基礎

      篇八 Plateau與Berstein問題

      篇九 均曲率方程



      共九章,即Ch.22-30。



      如前所述,微分幾何處理的主要對象是彎曲的空間。上卷已經建立了彎曲空間的基本概念,例如向量場的共變微分與曲率張量,並藉由彎曲空間中測地線的變分,來探測彎曲空間大域的幾何性質,例如對正、負曲率空間,分別有Bonnet-Myers定理、與Hadamard定理。



      1. 幾何變分學的鋪陳



      二十世紀中期之後,幾何分析(Geometric Analysis)成為幾何學研究的主流。



      它涵蓋甚廣,活潑、複雜而深刻。幾何變分學只是其中的一支。我們選幾何變分學作為下卷的主題,主要因為它的提問,自然而有趣。同時它與幾何分析的基礎概念相通。像Hopf最大原理(maximum principle)、比較原理(comparison principle)、流形上的變分、最小曲面及常均曲率曲面的穩定性、stability operator的特徵值、絕對最小與calibration、Sobolev函數、值譜定理、…等,都是幾何分析必要的基礎概念。這些全放進了書的下卷。



      幾何變分學中很多經典的idea與貢獻,則為下卷探討的主題,例如:Laplace的毛細估計、Plateau問題、Bernstein問題、迷人的Hopf猜想、與凸性問題等。



      在下卷的開始,即篇七Ch.22、Ch.23兩章,我們談均曲率的一些基礎概念,但同時鋪陳一些自然的問題。例如Ch.22中,談曲面積的絕對最小、引入calibration、作出?4中的Plateau解;又從二階變分的計算,證明了Barbosa-do Carmo有趣的定理:?n+1中的封閉區面Mn,若均曲率為常數(簡稱cmc = constant mean curvature),而且為穩定(stable),則Mn必為球面。這個所謂stable sphere theorem,其實是1950-1980年間許多幾何學家在思考Hopf猜想(Hopfs conjecture)時,分出去的一條軌跡。



      Ch.23也一樣,在探討最小曲面的穩定性這條自然的脈絡中,我們介紹了Jacobi場,Sobolev空間,並證明一般的值譜定理(spectrum theorem)。然後我們以特徵值的估計,證明了鼓面愈大,聲音愈低沉;而且在鼓面面積相同的情況下,證明:鼓面愈對稱,聲音愈低沉。同時,我們把這些有趣的古典分析,與現今的問題相連結。



      2. Plateau與Bernstein問題



      Plateau問題與Bernstein問題的交會,是1960-70年代幾何界的大事。下卷篇八,三章(Ch.24-26)集中在訴說這個故事。著名的Plateau問題是古典問題,1930年代Jesse Douglas有突破性的進展,他用「三定點手法」成功的控制面積泛函的minimizing sequence,使其極限成為Plateau solution。我們用Ch.24一整章,完整的敘述他原創性的證明。然後我們進入1960年代之後最小曲面的極盛時期,細說那時期幾何學界蓬勃綻放的美麗花朵。



      Plateau問題的起源,是在答覆這樣的問題:給定?3中的一條封閉曲線,有沒有以這曲線為邊界,而面積為絕對最小的曲面(稱為Plateau解)?又如果有解,解曲面有否奇點?Bernstein問題則為:在?2上全定義的minimal graph(即表成u=u(x), x ??2),是否必為平面?Bernstein定理就某種意義來說,可以說是一種非線性的Liouville定理。



      有趣的是,Plateau解曲面有沒有奇點,與Bernstein定理對不對,是同一件事。[Ch.25]。如果我們躲進Plateau solution那奇點的無限小鄰域,去看Plateau的解曲面,我們會看到一個cone(錐面)。相應的,如果我們跑到無限遠處,回頭看Bernstein解曲面,也會看到一個cone。



      於是問題轉化成:「在?N空間中,除超平面之外,是不是存在minimal cone?」的問題。亦即:是不是有這樣一個面積為絕對最小的錐面(稱之為minimal cone),它不是?N-1?若有,則Plateau solution有奇點,Bernstein定理也跟著不對。若沒有,則Plateau solution為regular(沒有奇點),Bernstein定理正確。



      這是兩個問題美麗的交會。



      3. 意大利學派



      藉Ch.25,我們先介紹Bernstein問題的古典背景,亦即在最簡單的?2上考慮minimal graph,並用Chern的觀點,把最小曲面的metric改造[見Ch.25(12)式],將問題歸結為Liouville定理。隨後我們進入1960年代最小曲面論的highlight:James Simons對兩問題交會所做的貢獻;然後用活動標架法估計第二基本式,而得到維數不大於6,不會有平面之外的minimal cone。藉Ch.26,我們進入意大利學派Bombieri與de Giorgi的世界,引入BV函數(functions of bounded variation),延伸Bernstein定理到7維,建構?8中非平面的minimal cone S3(1/√2) x S3(1/√2)$,並給出8維以上著名而深刻的反例。另外,1970年代Schoen-Simon-Yau直接估算第二基本式,一方面標誌活動標架法的威力,另一方面開啟幾何分析的研究,把幾何與分析做緊密而漂亮的結合,這工作也放在Ch.26,作為篇八的結束。



      4. 毛細液面



      篇九從Young-Laplace-Gauss對毛細液面的貢獻談起。1805年Thomas Young導出:液面的內外壓力差為均曲率(mean curvature)的常數倍[Ch.27(01)式]。同時,Laplace觀察到:液面的均曲率,與液柱的高度成正比[Ch.27(4)式]。他們的工作開啟了毛細液面與均曲率的研究。我們知道在無重力的狀態下,毛細液面的均曲率必為常數,亦即必為cmc(常均曲率曲面)。



      對於Young-Laplace方程[Ch.27,(04)及(05)兩式],Gauss用虛功原理(virtual work)加以證明,打開變分學的一頁。在Ch.27,我們用現代語言重新詮釋這些,並建立普遍的理論架構,據此深入毛細液面(包含cmc)及相關曲面的探討。



      毛細現象有很多有趣的問題,例如一棵樹為什麼可以把土壤裡的水分吸到樹頂?根據早先Laplace的計算,以現有導管的粗細,毛細現象最高只能把水分吸到$10$英尺[Ch.27(31)式]。但很多樹都遠高於10英尺。植物學者認為原因是:葉面水分蒸發具有真空吸力的效果。可是很多溫帶的大樹,冬天葉子都掉光,地裡的水分如何被吸到樹頂?使的樹木存活?Robert Finn給出了答案:因為樹幹中導管的橫截面,實際上不是圓形(如Laplace所假設),而是偏向六角形。秘密就在那些角,當角夠小時,毛細液面會以1?r的速率爬升。



      這樣的例子揭示我們必須正視毛細液面的複雜性。接連很多問題都與毛細液面的幾何有關。



      當重力越小,管壁對液面分子的吸附力(或排斥力)的影響越大,液面越變化多端。尤其當重力越小時,液面的幾何越豐富。例如有趣的凸性問題,見Finn-Korevaar [Ch.27,定理4]與Chen-Huang [Ch.27,定理5、6}]。



      又例如一個封閉的容器,裡面除了留有一些空隙之外,幾乎注滿水,把容器拿到太空中,這時空隙會變成什麼樣子?是不是一個球狀?答案是對的(當然也可能是n個球狀)。理由是:這時空隙的邊界是常均曲率的液面。Alexandrov在1956年證明任何一個安裝(embedded,或譯為鑲映)於?n+1中的n維封閉曲面Mn,若均曲率定常(即cmc),則必為球狀[Ch.28,定理2]。



      但embedding這個拓樸條件是否必要?例如:假定(cmc的)Mn不限定embed(鑲映),而只知immersed(浸映)於?n+1中呢?這就是著名的Hopf猜想(conjecture)。Hopf自己證明了:M2若與球面S2同胚,則浸映的cmc M2只能是標準球面。然後是一些有趣的努力:例如前述Barbosa-do Carmo [Ch.21]的穩定球定理,與項武義(Wu-Yi Hsiang)四維空間?4中的反例。1983年,Wente終於證明了Hopf猜想不對:在?3中存在很多cmc環面的反例。



      篇九前兩章[Ch.27-28],把Hopfs differential與Alexandrov的對稱化方法分別做了介紹,並得出他們的定理。在衍篇中,我們附上王藹農簡介Wente環面的幾何。



      5. cmc的幾何



      篇九的後兩章(Ch.29-30),與本書作者的工作有關,例如:凸性問題、大凹陷定理與Jacobi場的分佈。



      1950-1983年間,幾何學家會支持Hopf猜想,其直覺的理由是:cmc封閉曲面$M$似乎不能有凹陷(指Gauss曲率為負的地方)。如果這個直覺是對的,那麼由Hadamard定理,M必然圍出一個convex body,亦即M鑲映於?3中,因此根據Alexandrov定理,M必為球形。



      Wente的眾多反例,告訴我們上述的直覺是錯的:M確實有凹陷。Huang-Lin(我與林俊吉)的大凹陷定理,在釐清上述直覺成立的範圍。它說,如果範圍不大,cmc封閉曲面確實不能有凹陷。換句話說,它若有凹陷,凹陷的範圍必須很大,至少包含一個extremal domain。



      任何一個domain都可以一直拓廣到成為extremal [即λ1(M)=0,見Ch.29,§2],extremal domain是相當大的面域,例如M中的一塊面域,若為non-parametric(即可以表成u=u(x), x ??2時),它都比extremal domain小。可見cmc曲面凹陷的範圍很大。大凹陷定理的證明,也支持早先我對凸性問題的主張:1970-80年代Brascamp-Lieb、Caffarelli-Friedman、Finn、Korevaar、Chen-Huang、Shih等人處理的凸性問題,關鍵在於:問題是不是well-posed?



      亦即,當我們期望在凸區域(convex domain)上的任何一個橢圓方程解,本身也是convex時,邊界條件不能加在零階(Dirichlet),或一階(capillary或Neumann),而應加在二階[Ch.29},§1}]。



      另外,在cmc曲面上的一個domain D(t)隨著時間t,從一個點鄰近的小小範圍連續加大,記成{D(t), 0?t


      在篇九Ch.30,亦即,在本書的最後一章,我們把這問題與Morse index定理連結起來,一如在測地線的情況一樣(最簡單的一維測地線,現在變成二維以上的cmc曲面)。本章的主要結果是:介於$D[λk-1=0]與$D[λk=0]之間,必有非零的Jacobi場出現過,而且其重數(multiplicity)可以控制。[Ch.30},Thm.8]。



      這問題遠比測地線上的Jacobi場的分佈複雜,因場域不再是一維的測地線,而是高維的曲面,況且是有體積制限(volume constraint)的cmc曲面。勻滑的C∞-手法,不適合應付這問題。我們必須把C∞-架構提升為Sovolev架構。Ch.23曾經考慮Sobolev函數空間,據此證明值譜分析定理。現在我們必須縝密的經營Sobolev的理論,看到它生動而成功的解決C∞-架構中自然的提問,才知Sobolev理論的精緻。為了這項工作,我又耗掉一年多的時間研究並寫完第30章。




    其 他 著 作
    1. 大域微分幾何(上):Riemannn幾何基礎
    2. 大域微分幾何(中):活動標架法
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