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大域微分幾何(中):活動標架法

大域微分幾何(中):活動標架法

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9789863503859
黃武雄
國立臺灣大學出版中心
2020年2月03日
167.00  元
HK$ 150.3
省下 $16.7
 
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ISBN:9789863503859
  • 叢書系列:教科書
  • 規格:精裝 / 192頁 / 19 x 26 x 2 cm / 普通級 / 單色印刷 / 初版
  • 出版地:台灣
    教科書


  • 自然科普 > 數學 > 微積分











      《大域微分幾何》全書共三卷。內容主要對象是彎曲的空間,上卷大體是作者多次在臺大數學研究所授課的講稿,以此為基礎,展開中、下?卷,進入大域幾何研究的專業。



      這套書三卷分別是「Riemann幾何基礎」、「活動標架法」(moving frames)及「幾何變分學」,涵蓋九大篇,共三十章,並於上卷與下卷加入〈前篇〉及〈衍篇〉各三章,以作為微分幾何「基礎入門」與「延伸進階學習」之用。



      中卷「活動標架法」先介紹「張量的微積分」,從「平均」的視角出發,導入均曲率、Diverence與Laplacian等相關的幾何概念,刻劃結構方程的意涵。然後藉由微分式(differential form)的運算,發展「活動標架法」,有效處理彎曲空間的大域問題。



    本書特色



      1. 全書以深入淺出的解說方式,藉由直觀,逐步引入艱深的幾何?究。

      2. 問題中心論:內容的鋪陳,經常圍繞著自然的提問。

      3. 採二維計算方式呈現數學式子的推演,使學習者一目瞭然,容易掌握運算過程。

      4. 適合「微分幾何學」進階研究,及天文物理、生化、土木領域之延伸應用。



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    中卷前言

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    中卷 活動標架法

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    篇四 張量的微積分

    第13章 平均的概念

    第14章 子流形,均曲率與Laplacian

    第15章 外微分與Divergence定理

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    篇五 Riemann幾何的結構

    第16章 結構方程

    第17章 張量的共變微分

    第18章 活動標架法的運算基礎

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    篇六 活動標架法與大域幾何

    第19章 高維流形的Gauss-Bonnet-Chern定理

    第20章 Bochners Technique

    第21章 Laplacian的特徵值

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    全書參考文獻

    全書索引

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    中卷前言



      中卷的主題是活動標架法。含三篇



      篇四 張量的微積分

      篇五 Riemann幾何的結構

      六 活動標架法與大域幾何



      共九章,即Ch.13-21。



      微分幾何處理的對象是彎曲的空間。上卷已經建立了彎曲空間的基本概念,例如向量場的共變微分與曲率張量,並藉由彎曲空間中測地線的變分來探測彎曲空間大域的幾何性質,例如對正、負曲率空間,分別有Bonnet-Myers定理、與Hadamard定理。



      本書中卷先介紹張量的微積分,我們從平均的視角出發,引入均曲率、divergence、與Laplacian,使這些概念具有幾何的直觀,而不只做抽象的定義。活動標架法(moving frames)是處理彎曲空間簡潔而有效的方法,也是中卷的主題。



      活動標架法的基本概念是微分式(differential form)。在本書上卷前篇的章B中,我們已經鋪陳?n中的微分式,並看到它如何被運用、被拿來有效而漂亮的計算出n度球?、Clifford環面、與Lorentz雙曲面?n的Gauss曲率(高維時稱為截曲率)。這是截曲率為常數,而且分別為正、零與負值的三種典型。



      微分式是一階世界的概念,不屬於零階世界,亦即:在一個點的微分式,必須把那個點附近的無窮小範圍,放大無窮多倍,這時我們才看得到微分式。例如微分式ω在一塊面域D上的積分,如果用這樣的方式了解,便一目瞭然:原來微分式可以從積分符號中剝落出來,成為一個獨立的概念[篇四,參見Ch.15,§7]。把無窮小世界的微分式,在一塊面域D上的無窮多點「累加」,就得到ω在D上的積分值。微分式ω本身,例如:ω=dxdy是一個獨立游走的概念。這涵意是深遠的。



      當然,向量場本身也是一階產物,但因它與零階世界放在一起,直觀上還一目瞭然,所以問題不大。但微分式放到高階世界來了解,相對容易養成直觀,尤其取了外微分之後。



      古典的張量分析(tensor analysis)與向量場的共變微分,是處理彎曲空間的一種直接而廣泛沿用的方法,它們容易懂,但不好算。微分式則反過來,不好懂,但容易算,算起來尤其簡潔有效。而且一旦掌握,更可以用來分析彎曲空間(亦即Riemann流形)的幾何結構[篇五]:從建立結構方程開始,清楚的洞悉Riemann流形的局部性質。這件事在上卷曲面論基本定理[Ch.4, §2]中,討論高維超曲面的存在與唯一的時候,已經鋪陳了伏筆。到中卷篇五,藉由Ch.16子流形的結構方程、Ch.18活動標架法的運算基礎、與commutation formula這三樣重要題材,我們進一步把彎曲空間的局部幾何徹底釐清。從這裡借助invariance,躍入大域世界:1943年陳省身漂亮的運用moving frames,給予高維Gauss-Bonnet定理一個內在證明,開啟了大域幾何的紀元。這是篇六的第19章。



      就這樣,我們走進篇六,討論活動標架法在大域幾何的重要應用。我們引入Bochner著名的的技法,證明幾個經典的大域定理,如Lishnerowicz、Bochner、Hopf-Alexandrov、Minkowski、Reilly等人的貢獻。



      最後一節[Ch.21, §2]我們特別提到Obata定理,其中一個原因是Obata讓我們又細細回顧古典曲面論與測地線變分的技法,把它拿來處理某類Riemann流形M在Laplacian特徵值λ1取得最小的狀態(即敲音最低沉時)。證明此時Riemann流形M必定是最勻稱的n度球,這是球面一個深刻的特徵定理。




    其 他 著 作
    1. 大域微分幾何(上):Riemannn幾何基礎
    2. 大域微分幾何(下):幾何變分學
    3. 小樹的冬天(精裝)
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    5. 學校在窗外(教改二十周年紀念版)
    6. 童年與解放衍本(教改二十周年紀念版)
    7. 走路:給我一條千里步道
    8. 那裡有條界線(國際版)
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