庫存狀況
「香港二樓書店」讓您 愛上二樓●愛上書
我的購物車 加入會員 會員中心 常見問題 首頁
「香港二樓書店」邁向第一華人書店
登入 客戶評價 whatsapp 常見問題 加入會員 會員專區 現貨書籍 現貨書籍 購物流程 運費計算 我的購物車 聯絡我們 返回首頁
香港二樓書店 > 今日好書推介
二樓書籍分類
 
圖解向量與解析幾何

圖解向量與解析幾何

沒有庫存
訂購需時10-14天
9789571194189
吳作樂
五南
2017年10月28日
100.00  元
HK$ 95
省下 $5
 
二樓書卷使用細則 二樓書卷使用細則





ISBN:9789571194189
  • 叢書系列:圖解系列
  • 規格:平裝 / 248頁 / 17 x 23 cm / 普通級
    圖解系列


  • 自然科普 > 數學 > 幾何











      ★解決向量在老師與學生內心的疙瘩。

      ★難道一定要用物理概念才能學會數學向量嗎?

      ★內積、外積在數學與物理各自是什麼意思?



      本書是為了解決一段人對向量的大量疑惑。因為從物理的功、力矩定義導入向量內積、外積概念,令人誤會沒有這兩個觀念就不能將解析幾何,由二度推到三度空間。及為什麼能用物理概念推論數學?本書詳細說明數學及物理的向量歷史,認知到解析幾何根本不需要「向量」概念,就能夠推廣,只是相當繁瑣。並理解是數學支撐物理,而不是物理來說明數學。



      作者之一多年來在求學與教學深受上述問題困擾,因為用物理說明數學會導致學生不理解、造成教學困難。兩位作者都認為死背定義的數學學習,或說不清楚的數學,根本不配稱為好的數學教育。因為數學是一門可以被說清楚的演繹邏輯,不能說清楚的部分越少越好。想要保持數學直覺性與創意性,適當的途徑是研究這門學科的歷史和現狀。因此本書盡可能釐清內積、外積在數學與物理的混亂。希望學生不再有困惑,心理不再存在疙瘩,並了解在自然科學中,數學具有不可理喻的有效性。

    ?





    前言



    第1章 疑惑與歷史

    1-1 向量常見的疑惑 

    1-2 數學與物理的關係 

    1-3 數學的歷史 

    1-4 太多新的定義 

    1-5 向量的教學順序令人困惑 



    第2章 傳統解析幾何

    2-1 笛卡兒的平面座標 

    2-2 平面座標系的直線方程式(1):由來 

    2-3 平面座標系的直線方程式(2):斜截式 

    2-4 平面座標系的直線方程式(3):點斜式、截距式 

    2-5 平面座標系的直線方程式(4):兩點式 

    2-6 平面座標系的直線方程式(5):參數式 

    2-7 空間座標系的平面方程式(1):由來 

    2-8 空間座標系的平面方程式(2):表示方法 

    2-9 空間座標系的直線方程式 

    2-10 平面座標系的兩直線夾角 

    2-11 空間座標系的兩直線夾角 

    2-12 平面座標系、空間座標系的距離問題 

    2-13 平面座標系的點到線的距離(1):畢氏定理 

    2-14 平面座標系的點到線的距離(2):三角函數 

    2-15 平面座標系的點到線的距離(3):參數式 

    2-16 空間座標系的點到線的距離、兩平行線的距離 

    2-17 空間座標系的點到面的距離 

    2-18 各個平行情況的距離 

    2-19 空間座標系的兩歪斜線的距離 

    2-20 空間座標系的兩平面相交直線方程式 

    2-21 空間座標系的兩平面夾角 

    2-22 整合此章的數學式 

    2-23 參數式的起源:拋物線 



    第3章 行列式

    3-1 解聯立方程式:兩變數 

    3-2 解聯立方程組:三變數 

    3-3 行列式的運算(1):二階 

    3-4 行列式的運算(2):三階 

    3-5 克拉碼行列式求平面方程式 

    3-6 二階行列式與面積關係 

    3-7 三階行列式與體積關係 

    3-8 變形的二階行列式(測量員公式)求多邊形面積(1) 

    3-9 變形的二階行列式(測量員公式)求多邊形面積(2) 



    第4章 高斯列運算

    4-1 加減消去法與列運算(1):兩變數 

    4-2 加減消去法與列運算(2):三變數 

    4-3 高斯列運算求平面方程式 



    第5章 向量在物理的意義

    5-1 向量在物理的意義 

    5-2 功與內積 

    5-3 力矩與外積 

    5-4 向量的定義 

    5-5 向量的基礎計算(1) 

    5-6 向量的基礎計算(2) 

    5-7 向量的基礎計算(3) 

    5-8 正射影與正射影長 

    5-9 向量與藝術:投影幾何 

    5-10 向量數學式總結 



    第6章 向量改變數學的教法

    6-1 數學的夾角與內積 

    6-2 向量與平面上的直線方程式關係 

    6-3 數學的平面方程式係數與外積(1):解析幾何方法 

    6-4 數學的平面方程式係數與外積(2):法向量與力矩 

    6-5 數學的平面方程式係數與外積(3):法向量怎麼求 

    6-6 利用向量求平面上點到線的距離 

    6-7 利用向量求空間中點到平面的距離 

    6-8 利用向量表示傾斜程度(斜率) 

    6-9 向量與柯西不等式(1):如何證明 

    6-10 向量與柯西不等式(2):柯西不等式與配方法的關係 

    6-11 向量與柯西不等式(3):如何記憶 

    6-12 利用向量與二階行列式,求平面座標系的三角形面積 

    6-13 利用向量與三階行列式,求平面座標系三角形面積、及兩向量張出的平行四邊形面積 

    6-14 利用向量與二階行列式,求空間座標系的三角形面積、及兩向量張出的平行四邊形面積 

    6-15 空間座標系的「兩向量張出的平行四邊形面積值」等於「兩向量外積後的公垂向量長度值」 

    6-16 三角錐體積與行列式(1):拉格朗日 

    6-17 三角椎體積與行列式(2):向量方法 

    6-18 空間座標系的三向量張出平行六面體體積 

    6-19 空間座標系的點到線的距離(1) 

    6-20 空間座標系的點到線的距離(2) 

    6-21 歪斜線的向量討論(1) 

    6-22 歪斜線的向量討論(2) 

    6-23 三垂線定理的討論 

    6-24 向量方法證明畢氏定理、三角不等式 

    6-25 傳統解析幾何的分點公式與向量的三點共線定理 

    6-26 計算三角形重心 

    6-27 計算三角形內心(1):向量方法 

    6-28 計算三角形內心(2):傳統解析幾何 

    6-29 外心、垂心的向量性質 

    6-30 兩面角與兩平面交線的向量求法 

    6-31 二度空間的角平分線與三度空間的角平分面 

    6-32 三度空間的角平分線 



    第7章 向量從物理到數學,再回到物理

    7-1 物理數學家與數學物理家 

    7-2 向量對數學的意義 

    7-3 數學與物理互相幫助



    第8章 矩陣

    8.1 動畫的由來(1) 

    8-2 動畫的由來(2) 

    8-3 動畫的由來(3) 

    8.4 矩陣的由來 

    8-5 矩陣的運算(1):二階矩陣PART1 

    8-6 矩陣的運算(2):二階矩陣PART2 

    8-7 矩陣的運算(3):二階矩陣PART3 

    8-8 矩陣的運算(4):三階矩陣 

    8-9 矩陣的運算(5):二階矩陣的反矩陣的由來 

    8-10 矩陣的運算(6):三階矩陣的反矩陣的由來與記法 

    8-11 矩陣的應用(1):轉移矩陣的概念 

    8-12 矩陣的應用(2):如何求轉移矩陣 

    8-13 矩陣的應用(3):血型的轉移矩陣

     

    第9章 總結

    9-1 相關歷史 

    9-2 結論 



    附錄

    附錄1.為什麼負負得正呢? 

    附錄2.為什麼阿拉伯數字會長這樣? 

    附錄3.配方法與雙重配方法 

    附錄4.相關聯結 





    前言



      本書是針對高中生學習「向量」時,產生大量疑惑而寫的一部著作。高中數學課本從物理學的功、力矩的定義導入向量內積、外積的概念,造成學生極大的困惑,並誤以為僅能經由功、力矩的概念,才能推導出向量的內積與外積,這是相當大的錯誤認知。其中最大的問題是:



      1. 如果沒有「功」和「力矩」的概念,就沒有「內積」和「外積」嗎?



      2. 沒有「內積」和「外積」,就不能將解析幾何,由二度空間推廣到三度空間嗎?



      3. 為什麼會用物理概念來推論數學,不是說數學是科學的語言嗎?



      有鑑於此,作者從歷史演進說明及數學推導傳統解析幾何根本不需要「向量」的概念,就能夠推廣至三度空間,只是相當繁瑣而己。誠然物理學家創造了向量的概念,並啟發了數學家。換句話說,物理為了正確描述力學現象,建立一套數學語言,而後由數學家接手,建構了向量分析、線性代數,及希爾伯特空間(Hilbert Space),也就是n維度空間。但我們仍然不可以將數學與物理混為一談、這樣會導致兩者關係的混亂,誤會數學需要物理,事實上數學不需借助外力,本身就可說明清楚,也就是自圓其說。



      作者在本書所要釐清的重點是:



      1. 高中數學使用向量學習三度空間內容,是因為比傳統方法簡潔,而非必要,這個重點應該讓學生清楚知道,並讓學生知道數學不該存在破綻,一門演繹邏輯的科目,不該被誤解為歸納邏輯。



      2. 本書依實際發生過的歷史進展過程詳加說明,徹底去除學生因課本的陳述方式,所產生的歷史錯亂與困惑感,如:柯西不等式、行列式、參數式。為了解決這種問題,本書將不屬於向量範疇的內容移除,以免學生誤會一定要先會向量才能學會那些內容,並了解傳統解析幾何就足以推導,但較為繁瑣,必須知道不用借助向量也可以推導。



      3. 點出數學與物理之間的關係,數學是物理的語言,數學可以和物理緊密相關,也可能亳不相關。然而有趣的是,表面上和物理不相關的數學,竟然常常被物理學家或工程師使用在新的領域。有興趣的讀者可參考物理學家Eugene Wigner有名的論述:「在自然科學中,數學不可理喻的有效性。」原文是:「The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences」。



      4. 了解內積、外積在數學、物理兩方的關係,而不是混為一談。數學「餘弦定理」會對應到物理的「功」,其運算動作都稱為「內積」;數學「平面方程式係數」會對應到物理的「力矩」,其運算動作都稱為「外積」。現行的內積、外積教學方式,大抵如下述:內積直接用物理來定義,硬套用到數學,不一定解釋。外積用公垂向量解釋外積,或直接用物理來定義,硬套用到數學,不一定解釋。本書詳細說明向量在數學及物理的歷史發展,並說明數學支撐物理。



      5. 認識向量是基礎數學和基礎物理的交界點之一,高中數學從物理應用切入三度空間的數學,導致許多學生產生困惑。雖然數學和物理有錯綜複雜的關係,但我們仍然不該混為一談。必須理解到數學是建構在演繹邏輯的語言,而物理是建構在歸納邏輯的自然科學,只是用數學語言來表達,物理與數學兩者高度相關,但不相同。作者將所有產生困惑的原因全面清理,期望學生或教師們終能理解。



      6. 如果不說明清楚向量概念的原由,將失去一次可以說明數學與物理之間的關係(另一次是拋物線的內容)。而數學與物理之間的關係,實際上是數學支撐物理,而不是物理來說明數學。如果不了解兩者關係,使得有一部分的人將數學當作物理,也就是誤會數學公式如同物理公式一般,會隨著時代被修正,也就是將演繹邏輯當歸納邏輯。



      作者認為數學教科書應該使學習者學習順暢,而非死背定義。現行教科書用向量作為定理來說明解析幾何,也就是用物理概念強迫學生學向量,再處理數學的解析幾何問題。學生可能不明白內積的意義,若要死背公式(內積)來硬套數學題目,必然會令學習者相當困惑。



      但作者也能理解到傳統解析幾何非常繁瑣,所以也不希望完全走回原本的老路,最起碼也應該用數學餘弦定理的概念來說明內積,用公垂向量來說明外積,避開物理概念的硬套,才能讓學生接受。如果非要用物理也應該說清楚從何而來,為什麼物理與數學可以相互呼應。為此本書說明了物理為什麼需要創造向量與內積、外積。



      作者之一多年來,在求學與教學深受上述問題困擾,因為用物理說明數學會導致學生不理解、造成教學困難。作者認為死背定義的數學學習方式,或說不清楚的數學,根本不配稱為好的數學教育。因為數學是一門可以被說清楚的演繹邏輯,不能說清楚的部分愈少愈好。因此本書盡可能將向量產生的疑惑納入討論,希望學生不再有困惑,心裡不再存在疙瘩。



      本書詳述了非常多的細節部分,但實際的核心價值是「釐清內積、外積在數學與物理的混亂」,想要快速解除困惑可以參考CH1、CH5、CH6的6-1到6-5、CH7、CH9,至於細節部分可以斟酌跳過。



      「如果我做的物理問題呈現意料外的豐富數學結構,那麼這個物理理論一定是正確的。我們都知道這個假說曾經被驚人的驗證過,例如愛因斯坦的重力理論與狄拉克的電子理論。」



      徐一鴻,華裔美國物理學家



      本書雖經多次修訂,缺點與錯誤在所難免,歡迎各界批評指正,得以不斷改善。如有問題也可以連絡作者,作者信箱praxismathwu@gmail.com




    其 他 著 作
    1. 圖解統計與大數據(2版)
    2. 你沒看過的數學(3版)
    3. 圖解數學
    4. 台灣人一定要懂的邏輯
    5. 你沒看過的數學(2版)
    6. 圖解統計與大數據
    7. 你沒看過的數學
    8. 圖解數學
    9. 互動及視覺微積分
    10. 互動及視覺微積分
    11. 國中數學贏在起跑點
    12. 國中數學基測詳解(下)
    13. 國中數學基測詳解(上)
    14. 想問卻不敢問的數學問題